Grile de matematică pentru admiterea la facultate.

Scoatem $3^x$ factor comun: $3^x(3+1)=12$, deci $3^x=3$. Verificăm: $3^2+3^1=9+3=12$, deci soluția este $x=1$.

Avem $f(0)=0$ și $\displaystyle f(\ln2)=\frac{2-1}{2+1}=\frac13$. În a doua integrală facem schimbarea de variabilă $x=f(t)$, cu $t$ de la $0$ la $\ln2$, apoi integrăm prin părți:

Ultimul termen este exact prima integrală din $I$, cu semn schimbat, deci cele două se reduc. Prin urmare, $I=\frac13\ln2$.

Derivăm fiecare termen: $f'(x)=e^x+3x^2+1$. Înlocuim $x=1$ și obținem $f'(1)=e+3+1=e+4$.

Polinomul $Q(X)=(X+1)P(X)-1$ are gradul $26$ și se anulează în $0,1,\ldots,25$, deci

Pe de o parte $Q(-1)=-1$, iar pe de alta $Q(-1)=c\cdot(-1)(-2)\cdots(-26)=c\cdot26!$, deci $c=-\frac{1}{26!}$.

Scriem $P=a_{25}X^{25}+\cdots+a_1X+a_0$. Avem $a_0=P(0)=1\ne0$, deci rădăcinile sunt nenule. Din relațiile lui Viète, suma produselor câte $24$ ale rădăcinilor este $\frac{a_1}{a_{25}}$, iar produsul lor este $-\frac{a_0}{a_{25}}$, deci

Aflăm $a_1$ comparând coeficientul lui $X$ din cele două scrieri ale lui $Q$. În $(X+1)P(X)-1$ el este $a_0+a_1=1+a_1$. În $c\,X(X-1)\cdots(X-25)$ el este

Deci $1+a_1=\frac{1}{26}$, adică $a_1=-\frac{25}{26}$. Prin urmare, $S=\frac{25}{26}$.

Din relațiile lui Viète, $x_1+x_2=5$ și $x_1x_2=6$. Prin urmare,

Avem $\det A=0\cdot1-1\cdot(-1)=1$. Din $\det(A^2)=(\det A)^2$ rezultă $\det(A^2)=1$.

Factorizăm: $x^2-4x+3=(x-1)(x-3)$ și $x^2-1=(x-1)(x+1)$. Pentru $x\ne1$, fracția este $(x-3)/(x+1)$. Limita este $(1-3)/(1+1)=-1$.

Din prima ecuație, $x=y+z$. Înlocuim în celelalte două:

Pentru $m=-2$ prima relație dispare și sistemul are o infinitate de soluții. Pentru $m\ne-2$ obținem $y=-2z$, iar a doua relație devine $(m-6)z=3$. Pentru $m=6$ sistemul este incompatibil. Așadar soluția este unică exact când $m\notin\{-2,6\}$, și atunci

Condiția din enunț devine

deci $z_0^{26}=1$, adică $|m-6|=3$. Valorile $m=3$ și $m=9$ sunt diferite de $-2$ și $6$, deci dau soluție unică.

Prin urmare, $m\in\{3,9\}$.

Radicalul impune $x\in[3,5]$. Inegalitatea strictă cere $x>3$. Putem ridica la pătrat: $-x^2+8x-15<(x-3)^2$, echivalent cu $(x-3)(x-4)>0$. Intersecția cu $(3,5]$ este $(4,5]$.

Scriem $x*y=(x-4)(y-4)+4$. Din $x*e=x$ obținem $(x-4)(e-4)=x-4$. Cum $x>4$, rezultă $e=5$, deci $S=11$.