Grile de fizică pentru admiterea la Politehnică.

Randamentul planului înclinat este raportul dintre lucrul mecanic util, de ridicare a corpului la înălțimea $h$, și lucrul mecanic consumat de forța care trage corpul uniform în sus pe plan, pe lungimea $l$. Cu $h=l\sin\alpha$ și $F=mg\sin\alpha+\mu mg\cos\alpha$,

$$\eta=\frac{mgh}{F\,l}=\frac{mg\,l\sin\alpha}{(mg\sin\alpha+\mu mg\cos\alpha)\,l}=\frac{\operatorname{tg}\alpha}{\operatorname{tg}\alpha+\mu}.$$

Unghiul de frecare $\varphi$ verifică $\operatorname{tg}\varphi=\mu$. Pentru $\alpha=\varphi$ avem $\operatorname{tg}\alpha=\mu$, deci

$$\eta=\frac{\mu}{\mu+\mu}=\frac12.$$

Prin urmare, randamentul planului înclinat este $\eta=50\%$.

Folosim condiția de echilibru și conservarea energiei mecanice. Măsurăm înălțimile față de suprafața apei, în metri. Sportivul atârnă cu capul în jos, deci glezna este cu $h_0=2\,\mathrm m$ deasupra capului, iar centrul de masă cu $1\,\mathrm m$ deasupra capului.

La echilibru capul este la $8\,\mathrm m$, deci glezna este la $10\,\mathrm m$, iar coarda are lungimea $25-10=15\,\mathrm m$. Forța elastică echilibrează greutatea:

$$k(15-l_0)=mg.$$

În punctul cel mai de jos capul atinge apa, glezna este la $2\,\mathrm m$, iar coarda are lungimea $25-2=23\,\mathrm m$. Viteza este nulă atât la plecare, cât și aici. Centrul de masă coboară de la $25+1=26\,\mathrm m$ la $1\,\mathrm m$, adică cu $25\,\mathrm m$, iar energia potențială pierdută devine energie elastică:

$$mg\cdot25=\frac{k(23-l_0)^2}{2}.$$

Înlocuim $mg$ din prima relație și simplificăm prin $k$:

$$50(15-l_0)=(23-l_0)^2\quad\Rightarrow\quad l_0^2+4l_0-221=0\quad\Rightarrow\quad(l_0-13)(l_0+17)=0.$$

Rădăcina negativă nu are sens fizic. Prin urmare, lungimea corzii nedeformate este $l_0=13\,\mathrm m$.

Rezolvăm rețeaua de la dreapta la stânga, cu legea lui Ohm pentru fiecare rezistor și cu prima lege a lui Kirchhoff în fiecare nod. Măsurăm potențialele față de bara de jos. Fiecare rezistor are $R=1\,\Omega$, deci tensiunea pe el, în volți, este egală cu curentul prin el, în amperi.

Prin rezistorul vertical $CD$ trece $1\,\mathrm A$, deci $V_C=1\,\mathrm V$. Același curent trece prin rezistorul orizontal din stânga lui $C$. Urcăm apoi treaptă cu treaptă:

Nodul dinaintea lui $C$ are $1+1=2\,\mathrm V$, derivația lui conduce $2\,\mathrm A$, iar rezistorul orizontal din stânga conduce $1+2=3\,\mathrm A$.
Nodul următor are $2+3=5\,\mathrm V$, derivația conduce $5\,\mathrm A$, iar rezistorul din stânga conduce $3+5=8\,\mathrm A$.
Primul nod are $5+8=13\,\mathrm V$, derivația conduce $13\,\mathrm A$, iar primul rezistor orizontal conduce $8+13=21\,\mathrm A$.

Tensiunea dintre $A$ și $B$ este tensiunea primului nod plus căderea pe primul rezistor orizontal:

$$U_{AB}=13\,\mathrm V+21\,\mathrm A\cdot1\,\Omega=34\,\mathrm V.$$

Prin urmare, tensiunea aplicată la bornele $AB$ este $U_{AB}=34\,\mathrm V$.

Aplicăm principiul întâi al termodinamicii. Notăm cu $x$ lungimea compartimentului cu gaz și cu $S$ secțiunea cilindrului. Resortul are lungimea nedeformată egală cu lungimea cilindrului, deci compresia lui este chiar $x$. Pistonul este în echilibru, iar în dreapta este vid, deci

$$pS=kx\quad\Rightarrow\quad pV=pS\,x=kx^2=\nu RT.$$

La o variație mică a lui $x$, gazul efectuează lucrul mecanic

$$\delta L=p\,dV=kx\,dx=d\left(\frac{kx^2}{2}\right)=\frac{\nu R}{2}\,dT.$$

Pentru gazul monoatomic $dU=\frac32\nu R\,dT$, deci

$$\delta Q=dU+\delta L=\frac32\nu R\,dT+\frac12\nu R\,dT=2\nu R\,dT.$$

Prin urmare, căldura molară a gazului este $C=\frac{\delta Q}{\nu\,dT}=2R$.

Aplicăm legea lui Ohm pentru întregul circuit, $E=I(R+r)$, ca să aflăm rezistența internă:

$$r=\frac EI-R=\frac{6\,\mathrm V}{3\,\mathrm A}-0{,}8\,\Omega=1{,}2\,\Omega.$$

La scurtcircuit rezistența exterioară este nulă, deci

$$I_{sc}=\frac Er=\frac{6\,\mathrm V}{1{,}2\,\Omega}=5\,\mathrm A.$$

Prin urmare, intensitatea curentului de scurtcircuit este $I_{sc}=5\,\mathrm A$.

Folosim faptul că un voltmetru ideal nu absoarbe curent, deci un rezistor aflat în serie cu el nu are cădere de tensiune.

Configurația care verifică ambele măsurători are firul de sus legat direct de la I la II, un rezistor $R$ în serie pe firul de jos și un rezistor $R$ între fire, lângă terminalul II.

Când aplicăm $U$ la terminalul I, curentul trece prin rezistorul în serie și prin cel dintre fire. Cele două rezistențe egale formează un divizor de tensiune, iar voltmetrul de la II măsoară tensiunea pe rezistorul dintre fire, adică $\frac U2$.

Când aplicăm $U$ la terminalul II, rezistorul dintre fire este legat direct la sursă. Prin rezistorul în serie spre terminalul I nu trece curent, deci voltmetrul indică $U$.

Celelalte configurații nu respectă ambele condiții. De exemplu, cu două rezistențe în serie pe firul de jos, prima indicație ar fi $\frac U3$, iar cu rezistorul dintre fire lângă terminalul I, prima indicație ar fi $U$.

Prin urmare, cutia conține un rezistor în serie pe firul de jos și un rezistor între fire, lângă terminalul II.

Aplicăm ecuația de stare a gazului ideal, $pV=\frac m\mu RT$. Cum $\rho=\frac mV$, ea devine $p=\frac{\rho RT}{\mu}$. Cu $\mu=29\,\mathrm{g/mol}=0{,}029\,\mathrm{kg/mol}$,

$$p=\frac{\rho RT}{\mu}=\frac{4\,\mathrm{kg/m^3}\cdot8{,}31\,\mathrm{J/(mol\cdot K)}\cdot290\,\mathrm K}{0{,}029\,\mathrm{kg/mol}}=332\,400\,\mathrm{Pa}.$$

Prin urmare, presiunea aerului din tub este $p=332{,}4\,\mathrm{kPa}$.

Viteza medie este raportul dintre distanța parcursă și durata mișcării. Durata este $t=9\cdot24\,\mathrm h+2\,\mathrm h=218\,\mathrm h$, deci

$$v_m=\frac dt=\frac{1\,133\,600\,\mathrm{km}}{218\,\mathrm h}=5200\,\mathrm{km/h}.$$

Prin urmare, viteza medie a fost $v_m=5200\,\mathrm{km/h}$.

Randamentul ciclului Carnot depinde doar de temperaturile rezervoarelor, $\eta=1-\frac{T_{\mathrm{rece}}}{T_{\mathrm{cald}}}$. Aici rezervorul rece are $T_1=300\,\mathrm K$, iar cel cald $T_2=400\,\mathrm K$, deci inițial

$$\eta_1=1-\frac{300\,\mathrm K}{400\,\mathrm K}=\frac14.$$

După ce temperatura rezervorului rece scade la $250\,\mathrm K$,

$$\eta_2=1-\frac{250\,\mathrm K}{400\,\mathrm K}=\frac38.$$

Prin urmare, raportul dintre randamentul actual și cel inițial este

$$\frac{\eta_2}{\eta_1}=\frac{3/8}{1/4}=1{,}5.$$

Aplicăm conservarea energiei mecanice, deoarece nu există frecări. Măsurăm lungimile în centimetri.

Când corpul 2 coboară cu $y$ sub punctul $C$, fiecare porțiune de fir dintre un scripete și corpul 2 are lungimea $\sqrt{30^2+y^2}$, după teorema lui Pitagora. Firele sunt inextensibile, deci fiecare corp lateral urcă cu

$$h=\sqrt{900+y^2}-30.$$

În poziția cea mai de jos corpul 2 are viteza nulă, deci și corpurile 1 și 3, ale căror viteze depind de viteza corpului 2, sunt oprite. Energia cinetică este nulă la plecare și în această poziție, deci energia potențială pierdută de corpul 2 este egală cu cea câștigată de corpurile 1 și 3:

$$mgy=2mg\left(\sqrt{900+y^2}-30\right)\quad\Rightarrow\quad\frac y2+30=\sqrt{900+y^2}.$$

Ridicăm la pătrat și obținem $\frac{y^2}{4}+30y+900=900+y^2$, adică $30y=\frac34y^2$, cu soluția nenulă $y=40\,\mathrm{cm}$.

Prin urmare, distanța maximă cu care coboară corpul 2 este $40\,\mathrm{cm}$.