Funcția de gradul al doilea la admitere

Funcția de gradul al doilea este $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $f(x) = ax^2 + bx + c$, cu $a \neq 0$. Dacă un parametru înmulțește $x^2$, tratează separat cazul în care acest coeficient se anulează. Rămâne o ecuație liniară dacă $b\neq0$, iar pentru $b=0$ verifici egalitatea constantă.

Discriminantul este

$\Delta = b^2 - 4ac$

și stabilește numărul rădăcinilor reale: pentru $\Delta > 0$ ecuația $f(x) = 0$ are două rădăcini reale distincte, pentru $\Delta = 0$ o rădăcină reală dublă, pentru $\Delta < 0$ nicio rădăcină reală. Rădăcinile, când există, sunt

$\displaystyle x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$

La grilă, înainte de orice calcul cu rădăcinile, scrie condiția pe $\Delta$. Enunțurile cu „rădăcini reale distincte” cer $\Delta > 0$, cele cu „rădăcini reale” cer $\Delta \geq 0$.

Dacă $x_1$ și $x_2$ sunt rădăcinile, atunci

$\displaystyle x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}, \qquad x_1 x_2 = \frac{c}{a}$

Notează $S = x_1 + x_2$ și $P = x_1 x_2$. Aproape orice expresie simetrică din enunț se rescrie prin $S$ și $P$:

$\displaystyle x_1^2 + x_2^2 = S^2 - 2P, \qquad x_1^3 + x_2^3 = S^3 - 3SP, \qquad \frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} = \frac{S}{P} \ (P \neq 0)$

Reciproc, două numere cu suma $S$ și produsul $P$ sunt rădăcinile ecuației $x^2 - Sx + P = 0$. Cu asta construiești ecuația când grila îți dă suma și produsul, nu rădăcinile.

Graficul lui $f$ este o parabolă cu vârful

$\displaystyle V\left(-\frac{b}{2a},\ -\frac{\Delta}{4a}\right)$

Pentru $a > 0$ parabola ține brațele în sus: $f$ descrește pe $\left(-\infty, -\frac{b}{2a}\right]$, crește pe $\left[-\frac{b}{2a}, +\infty\right)$ și are minimul $-\frac{\Delta}{4a}$. Pentru $a < 0$ totul se inversează, iar $-\frac{\Delta}{4a}$ devine maxim.

Imaginea funcției se citește direct din vârf: $\mathrm{Im}\, f = \left[-\frac{\Delta}{4a}, +\infty\right)$ pentru $a > 0$ și $\left(-\infty, -\frac{\Delta}{4a}\right]$ pentru $a < 0$. Grilele cu „valoarea minimă a expresiei” sau „cel mai mic $m$ pentru care...” sunt de multe ori doar vârful parabolei, deghizat.

Regula de semn merită învățată ca o propoziție, nu redescoperită la fiecare grilă.

Dacă $\Delta < 0$, $f(x)$ are semnul lui $a$ pentru orice $x$ real. De aici vine echivalența cerută des la admitere: $ax^2 + bx + c > 0$ pentru orice $x \in \mathbb{R}$ dacă și numai dacă $a > 0$ și $\Delta < 0$.

Dacă $\Delta > 0$ și $x_1 < x_2$ sunt rădăcinile, $f(x)$ are semn contrar lui $a$ între rădăcini și semnul lui $a$ în afara lor. Dacă $\Delta = 0$, $f(x)$ are semnul lui $a$ peste tot, cu excepția rădăcinii duble, unde se anulează.

Orice inecuație de gradul al doilea se rezolvă așa: rădăcini, tabel de semn, citirea intervalului. Fără artificii.

Într-o problemă cu parametru, traduci cerința în condiții asupra discriminantului, sumei și produsului rădăcinilor. „Rădăcini reale distincte” înseamnă $\Delta > 0$. „Strict pozitivă pe $\mathbb{R}$” cere $a>0$ și $\Delta<0$. Pentru „nenegativă pe $\mathbb{R}$”, condițiile sunt $a>0$ și $\Delta\leq0$. „Rădăcini de semne contrare” înseamnă $P < 0$, iar aici nici nu mai ai nevoie de $\Delta$, pentru că $P < 0$ îl forțează singur să fie pozitiv. „Rădăcini pozitive” înseamnă $\Delta \geq 0$, $S > 0$ și $P > 0$.

Scrie condițiile ca sistem, rezolvă fiecare inecuație separat și intersectează la final. Păstrează numai valorile care îndeplinesc simultan toate condițiile.

Determină $m \in \mathbb{R}$ pentru care ecuația $x^2 - 2(m+1)x + m^2 + 3 = 0$ are două rădăcini reale distincte $x_1, x_2$ cu $x_1^2 + x_2^2 = 14$.

Pasul 1: condiția de existență. Calculăm discriminantul:

$\Delta = 4(m+1)^2 - 4(m^2 + 3) = 4\left(m^2 + 2m + 1 - m^2 - 3\right) = 8(m - 1)$

Rădăcini reale distincte înseamnă $\Delta > 0$, deci $m > 1$.

Pasul 2: Viète. Din relațiile lui Viète, $S = x_1 + x_2 = 2(m+1)$ și $P = x_1 x_2 = m^2 + 3$.

Pasul 3: traducem condiția. Folosim identitatea $x_1^2 + x_2^2 = S^2 - 2P$:

$x_1^2 + x_2^2 = 4(m+1)^2 - 2(m^2 + 3) = 4m^2 + 8m + 4 - 2m^2 - 6 = 2m^2 + 8m - 2$

Condiția $x_1^2 + x_2^2 = 14$ devine $2m^2 + 8m - 2 = 14$, adică

$\displaystyle m^2 + 4m - 8 = 0 \implies m = \frac{-4 \pm \sqrt{16 + 32}}{2} = -2 \pm 2\sqrt{3}$

Pasul 4: intersectăm cu $m > 1$. Avem $2\sqrt{3} \approx 3{,}46$, deci $-2 + 2\sqrt{3} \approx 1{,}46 > 1$ convine, iar $-2 - 2\sqrt{3} < 1$ pică la condiția de la pasul 1.

Răspuns: $m = -2 + 2\sqrt{3}$.