Matematică Poli 2026

Scoatem $3^x$ factor comun: $3^x(3+1)=12$, deci $3^x=3$. Rezultă $x=1$. Verificare: $9+3=12$.

Avem $f(0)=0$ și $f(\ln2)=1/3$. Formula pentru integrala funcției inverse dă $\displaystyle \int_a^b f(x)\,dx+\int_{f(a)}^{f(b)}f^{-1}(y)\,dy=bf(b)-af(a)$. Pentru $a=0$ și $b=\ln2$, rezultă $I=\frac13\ln2$.

Derivăm fiecare termen: $f'(x)=e^x+3x^2+1$. Înlocuim $x=1$ și obținem $f'(1)=e+3+1=e+4$.

Polinomul $Q(X)=(X+1)P(X)-1$ se anulează în $0,1,\ldots,25$, deci $Q(X)=c\prod_{j=0}^{25}(X-j)$. Din $Q(-1)=-1$ rezultă $c=-1/26!$. Astfel $Q'(0)=1/26=P(0)+P'(0)$. Cum $P(0)=1$, avem $P'(0)=-25/26$. Relația $P'(0)/P(0)=-\sum_k1/x_k$ dă $S=25/26$.

Din relațiile lui Viète, $x_1+x_2=5$ și $x_1x_2=6$. Prin urmare $S=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=25-12=13$.

Avem $\det A=0\cdot1-1\cdot(-1)=1$. Din $\det(A^2)=(\det A)^2$ rezultă $\det(A^2)=1$.

Factorizăm: $x^2-4x+3=(x-1)(x-3)$ și $x^2-1=(x-1)(x+1)$. Pentru $x\ne1$, fracția este $(x-3)/(x+1)$. Limita este $(1-3)/(1+1)=-1$.

Din prima ecuație, $x=y+z$. A doua devine $(m+2)(y+2z)=0$. Pentru soluție unică trebuie $m\ne-2$ și $m\ne6$; rezultă $y=-2z$, $x=-z$ și $z=3/(m-6)$. Condiția se reduce la $(2^{26}+2)[3/(m-6)]^{26}=2^{26}+2$, deci $|m-6|=3$. Ambele valori $m=3$ și $m=9$ dau soluție unică.

Radicalul impune $x\in[3,5]$. Inegalitatea strictă cere $x>3$. Putem ridica la pătrat: $-x^2+8x-15<(x-3)^2$, echivalent cu $(x-3)(x-4)>0$. Intersecția cu $(3,5]$ este $(4,5]$.

Scriem $x*y=(x-4)(y-4)+4$. Din $x*e=x$ obținem $(x-4)(e-4)=x-4$. Cum $x>4$, rezultă $e=5$, deci $S=11$.