Progresii aritmetice și geometrice pentru admitere

Un șir $(a_n)$ este progresie aritmetică dacă fiecare termen se obține din precedentul prin adunarea aceleiași rații $r$: $a_{n+1} = a_n + r$.

Termenul general:

$a_n = a_1 + (n-1)r$

Suma primilor $n$ termeni:

$\displaystyle S_n = \frac{(a_1 + a_n) \cdot n}{2} = \frac{\left[2a_1 + (n-1)r\right] \cdot n}{2}$

Condiția de mijloc: trei numere $a, b, c$ sunt termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice dacă și numai dacă

$b = \frac{a + c}{2}$

Un caz particular pe care merită să îl știi direct: $1 + 2 + \dots + n = \dfrac{n(n+1)}{2}$.

Un șir $(b_n)$ cu $b_1 \neq 0$ este progresie geometrică dacă fiecare termen se obține din precedentul prin înmulțirea cu aceeași rație $q \neq 0$: $b_{n+1} = b_n \cdot q$.

Termenul general:

$b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$

Suma primilor $n$ termeni, pentru $q \neq 1$:

$S_n = b_1 \cdot \frac{q^n - 1}{q - 1}$

Pentru $q = 1$ suma este pur și simplu $S_n = n b_1$; formula de sus nici nu are voie să fie folosită, pentru că numitorul se anulează.

Condiția de mijloc: trei numere nenule $a, b, c$ sunt termeni consecutivi ai unei progresii geometrice dacă și numai dacă $b^2 = ac$. Atenție: de aici rezultă $b = \pm\sqrt{ac}$, nu doar varianta pozitivă.

Pentru $|q| < 1$, suma tuturor termenilor progresiei geometrice infinite este

$S = \frac{b_1}{1 - q}$

Dacă enunțul dă doi termeni în loc de primul termen și rație, scrie un sistem pentru a le determina.

Scrie fiecare termen din enunț prin $a_1$ și $r$ (sau $b_1$ și $q$). De exemplu, „$a_3 = 7$ și $a_7 = 19$” devine $a_1 + 2r = 7$ și $a_1 + 6r = 19$. Scazi ecuațiile, scoți $r$, apoi $a_1$. Pentru progresii geometrice, împarte relațiile în loc să le scazi: din $b_5 / b_2 = q^3$ scoți rația fără să atingi $b_1$.

Când enunțul cere trei numere în progresie, cu o sumă sau un produs dat, notează-le simetric: $a - r$, $a$, $a + r$ pentru aritmetică, respectiv $\dfrac{a}{q}$, $a$, $aq$ pentru geometrică. Suma, respectiv produsul, dau imediat termenul din mijloc.

Unele grile dau un șir prin formula termenului general și întreabă dacă este progresie. Testul corect este pe termeni consecutivi oarecare, nu pe primii doi: $a_{n+1} - a_n$ trebuie să fie constantă pentru aritmetică, $\dfrac{b_{n+1}}{b_n}$ constant pentru geometrică. Un șir de forma $a_n = 3n - 2$ este aritmetic cu $r = 3$; unul de forma $b_n = 5 \cdot 2^n$ este geometric cu $q = 2$.

Citește cu atenție ce se cere: „al zecelea termen” înseamnă $n = 10$ în termenul general, dar „suma primilor zece termeni” înseamnă $S_{10}$. Sunt obiecte diferite și ambele apar în variantele de răspuns ale aceleiași grile.

Fie $(a_n)$ o progresie aritmetică în care $a_3 = 7$ și $a_7 = 19$. Calculează suma primilor 20 de termeni și determină rangul $n$ pentru care $a_n = 100$.

Pasul 1: scriem condițiile prin $a_1$ și $r$. Din termenul general, $a_3 = a_1 + 2r = 7$ și $a_7 = a_1 + 6r = 19$.

Pasul 2: rezolvăm sistemul. Scădem prima ecuație din a doua:

$4r = 12 \implies r = 3$

Înlocuim în $a_1 + 2r = 7$ și obținem $a_1 = 7 - 6 = 1$.

Pasul 3: suma primilor 20 de termeni. Mai întâi ultimul termen cerut:

$a_{20} = a_1 + 19r = 1 + 57 = 58$

Apoi suma:

$\displaystyle S_{20} = \frac{(a_1 + a_{20}) \cdot 20}{2} = \frac{(1 + 58) \cdot 20}{2} = 59 \cdot 10 = 590$

Pasul 4: rangul termenului egal cu 100. Termenul general este $a_n = 1 + 3(n-1) = 3n - 2$. Din $3n - 2 = 100$ rezultă $3n = 102$, deci $n = 34$. Rangul iese număr natural, deci 100 chiar este termen al progresiei.

Răspuns: $S_{20} = 590$ și $a_{34} = 100$.