Numere complexe pentru admitere

Un număr complex se scrie $z = a + bi$, cu $a, b \in \mathbb{R}$ și $i^2 = -1$. Numărul $a = \mathrm{Re}\, z$ este partea reală, iar $b = \mathrm{Im}\, z$ partea imaginară. Două numere complexe sunt egale exact când au aceleași părți reale și aceleași părți imaginare; pe această echivalență se sprijină toate ecuațiile cu necunoscute reale $a$ și $b$.

Puterile lui $i$ se repetă din 4 în 4:

$i^1 = i, \qquad i^2 = -1, \qquad i^3 = -i, \qquad i^4 = 1$

Pentru $i^n$ împarți $n$ la 4 și păstrezi restul: $i^n = i^{n \bmod 4}$. O sumă lungă de puteri ale lui $i$ se grupează în blocuri de câte 4 consecutive, iar fiecare bloc dă $i + i^2 + i^3 + i^4 = 0$.

Conjugatul lui $z = a + bi$ este $\bar{z} = a - bi$, iar modulul este

$|z| = \sqrt{a^2 + b^2}$

Modulul și conjugatul sunt legate prin identitatea:

$z \cdot \bar{z} = |z|^2$

Conjugatul comută cu operațiile: $\overline{z_1 + z_2} = \bar{z_1} + \bar{z_2}$ și $\overline{z_1 z_2} = \bar{z_1} \cdot \bar{z_2}$. Modulul este multiplicativ. Pentru raport presupunem $z_2\neq0$, iar pentru putere luăm $n$ natural pozitiv:

$\displaystyle |z_1 z_2| = |z_1| \cdot |z_2|, \qquad \left|\frac{z_1}{z_2}\right| = \frac{|z_1|}{|z_2|}, \qquad |z^n| = |z|^n$

De reținut și legăturile $z + \bar{z} = 2\,\mathrm{Re}\, z$ și $z - \bar{z} = 2i\,\mathrm{Im}\, z$: din ele scoți condițiile „$z$ este real” ($z = \bar{z}$) și „$z$ este pur imaginar” ($z = -\bar{z}$, $z \neq 0$).

Împărțirea se face amplificând cu conjugatul numitorului:

$\displaystyle \frac{z_1}{z_2} = \frac{z_1 \cdot \bar{z_2}}{|z_2|^2}$

De exemplu, $\displaystyle \dfrac{1}{1 - i} = \dfrac{1 + i}{(1-i)(1+i)} = \dfrac{1 + i}{2}$.

Ecuația $az^2 + bz + c = 0$ cu coeficienți reali și $\Delta < 0$ are două rădăcini complexe conjugate:

$\displaystyle z_{1,2} = \frac{-b \pm i\sqrt{-\Delta}}{2a}$

Relațiile lui Viète rămân valabile, iar produsul rădăcinilor conjugate se calculează cel mai repede ca $z_1 z_2 = |z_1|^2$. Când o grilă dă o rădăcină complexă a unei ecuații cu coeficienți reali, conjugata rădăcinii este și ea rădăcină. Cele două sunt distincte când partea imaginară este nenulă.

Orice $z \neq 0$ se scrie

$z = r(\cos t + i\sin t), \qquad r = |z|, \quad t = \arg z$

Argumentul se determină din $\cos t = \dfrac{a}{r}$ și $\sin t = \dfrac{b}{r}$, cu atenție la cadranul în care pică punctul $(a, b)$. La înmulțire modulele se înmulțesc și argumentele se adună; de aici, formula lui Moivre:

$z^n = r^n\left(\cos nt + i\sin nt\right)$

Formula lui Moivre poate scurta calculul unei puteri, mai ales când argumentul este un unghi uzual. Pentru $1 + i$, $\sqrt{3} + i$, $1 + i\sqrt{3}$ și rudele lor din celelalte cadrane, argumentele se reduc la unghiurile uzuale $\frac{\pi}{4}$, $\frac{\pi}{6}$, $\frac{\pi}{3}$ și la reflexiile lor.

Calculează $z = (1 + i)^{10}$ și $|z|$.

Metoda 1: prin forma trigonometrică.

Pasul 1: modulul și argumentul. Pentru $1 + i$ avem $r = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$, iar punctul $(1, 1)$ este în primul cadran, deci $t = \dfrac{\pi}{4}$:

$\displaystyle 1 + i = \sqrt{2}\left(\cos\frac{\pi}{4} + i\sin\frac{\pi}{4}\right)$

Pasul 2: aplicăm Moivre cu $n = 10$.

$\displaystyle (1+i)^{10} = (\sqrt{2})^{10}\left(\cos\frac{10\pi}{4} + i\sin\frac{10\pi}{4}\right) = 2^5\left(\cos\frac{5\pi}{2} + i\sin\frac{5\pi}{2}\right)$

Pasul 3: reducem unghiul. $\displaystyle \dfrac{5\pi}{2} = 2\pi + \dfrac{\pi}{2}$, deci $\cos\dfrac{5\pi}{2} = 0$ și $\sin\dfrac{5\pi}{2} = 1$:

$z = 32(0 + i \cdot 1) = 32i$

Metoda 2: verificare prin pătrate. $(1+i)^2 = 1 + 2i + i^2 = 2i$, deci

$(1+i)^{10} = \left[(1+i)^2\right]^5 = (2i)^5 = 32\, i^5 = 32i$

Ambele metode dau același rezultat, ceea ce la grilă înseamnă că poți alege varianta cu încredere.

Modulul: $|z| = |32i| = 32$, în acord cu $|1+i|^{10} = (\sqrt{2})^{10} = 32$.

Răspuns: $z = 32i$ și $|z| = 32$.