Sisteme liniare pentru admitere

Un sistem liniar de $m$ ecuații cu $n$ necunoscute se scrie $AX = B$, unde $A$ este matricea sistemului, formată din coeficienți, $X$ este coloana necunoscutelor și $B$ este coloana termenilor liberi. Matricea extinsă $\bar{A}$ se obține adăugând coloana $B$ la $A$.

Vocabularul de care ai nevoie la grile:

• compatibil determinat: soluție unică;
• compatibil nedeterminat: o infinitate de soluții, descrise printr-un parametru;
• incompatibil: nicio soluție.

Un sistem se numește omogen dacă toți termenii liberi sunt $0$. Un sistem omogen este mereu compatibil, pentru că soluția nulă $x_1 = \dots = x_n = 0$ verifică orice ecuație. Întrebarea reală la omogene este dacă există și soluții nenule.

Cramer funcționează doar pentru sisteme pătratice, cu tot atâtea ecuații câte necunoscute, și doar când determinantul sistemului $\Delta = \det A$ este nenul. Atunci sistemul este compatibil determinat și

$x_i = \frac{\Delta_i}{\Delta}$

unde $\Delta_i$ se obține din $\Delta$ înlocuind coloana $i$, adică exact coloana coeficienților lui $x_i$, cu coloana termenilor liberi. Pentru trei necunoscute calculezi patru determinanți de ordin 3: $\Delta$, $\Delta_x$, $\Delta_y$, $\Delta_z$.

Două reflexe care te scapă de greșeli: fabrică zerouri prin operații pe linii înainte de a dezvolta fiecare determinant, și verifică soluția finală în una dintre ecuațiile inițiale. Costă zece secunde și prinde orice eroare de semn.

Când $\Delta = 0$ sau când sistemul nu este pătratic, decizia se ia cu rangul. Rangul lui $A$ este ordinul maxim al unui minor nenul. Teorema Kronecker-Capelli spune:

$AX = B \text{ este compatibil} \iff \operatorname{rang} A = \operatorname{rang} \bar{A}$

Dacă rangul comun este egal cu numărul de necunoscute, sistemul este compatibil determinat. Dacă este strict mai mic, sistemul este compatibil nedeterminat: alegi minorul principal, păstrezi ecuațiile principale, treci necunoscutele secundare ca parametri în membrul drept și rezolvi.

Caz special de reținut pentru grile: un sistem omogen pătratic are soluții nenule dacă și numai dacă $\Delta = 0$. Enunțurile de tipul „determinați $m$ pentru care sistemul omogen admite soluții nebanale” se reduc la ecuația $\Delta(m) = 0$.

Gauss aduce sistemul la formă triunghiulară prin trei operații care nu schimbă mulțimea soluțiilor: schimbi două ecuații între ele, înmulțești o ecuație cu o constantă nenulă, aduni la o ecuație un multiplu al alteia.

Strategia: elimini $x$ din toate ecuațiile în afară de prima, apoi elimini $y$ din toate în afară de primele două, și tot așa. Din forma triunghiulară scoți ultima necunoscută și urci prin substituție.

Ce citești din forma finală: o linie de forma $0 = c$ cu $c \neq 0$ înseamnă sistem incompatibil; o linie $0 = 0$ dispare și lasă loc unei necunoscute libere, deci sistem nedeterminat. Gauss este de preferat când sistemul nu e pătratic sau când coeficienții sunt mici și determinanții ar fi doar muncă în plus.

Schema care rezolvă aproape orice grilă cu parametru:

1. Calculează $\Delta(m)$, determinantul sistemului, ca polinom în $m$.
2. Rezolvă $\Delta(m) = 0$. Pentru orice $m$ care nu este rădăcină, sistemul este compatibil determinat și aplici Cramer.
3. Pentru fiecare rădăcină $m_0$, înlocuiește $m = m_0$ în sistem și studiază separat: compară $\operatorname{rang} A$ cu $\operatorname{rang} \bar{A}$ sau aplică Gauss direct pe sistemul numeric obținut.

Greșeala clasică este să te oprești la pasul 2. Cazurile $\Delta = 0$ sunt exact cele pe care grila le punctează, pentru că acolo se desparte incompatibil de nedeterminat. Scrie fiecare caz cu concluzia lui explicită.

Se consideră sistemul, cu $m \in \mathbb{R}$:

$\begin{dcases} x + y + z = 2 \\ x + 2y + z = 3 \\ x + y + mz = 2 \end{dcases}$

Discută sistemul după valorile parametrului $m$ și rezolvă-l în fiecare caz.

Pasul 1: determinantul sistemului.

$\Delta = \begin{vmatrix} \displaystyle 1 & \displaystyle 1 & \displaystyle 1 \\ \displaystyle 1 & \displaystyle 2 & \displaystyle 1 \\ \displaystyle 1 & \displaystyle 1 & \displaystyle m \end{vmatrix}$

Scazi prima linie din a treia: linia devine $(0,\ 0,\ m-1)$, iar determinantul nu se schimbă. Dezvoltând după această linie:

$\Delta = (m-1)\begin{vmatrix} \displaystyle 1 & \displaystyle 1 \\ \displaystyle 1 & \displaystyle 2 \end{vmatrix} = (m-1)(2-1) = m-1$

Pasul 2: cazul $m \neq 1$. Atunci $\Delta \neq 0$, sistemul e compatibil determinat și aplici Cramer. Același truc, scăderea primei linii din a treia, funcționează la fiecare determinant:

$\Delta_x = \begin{vmatrix} \displaystyle 2 & \displaystyle 1 & \displaystyle 1 \\ \displaystyle 3 & \displaystyle 2 & \displaystyle 1 \\ \displaystyle 2 & \displaystyle 1 & \displaystyle m \end{vmatrix} = (m-1)\begin{vmatrix} \displaystyle 2 & \displaystyle 1 \\ \displaystyle 3 & \displaystyle 2 \end{vmatrix} = (m-1)(4-3) = m-1$

$\Delta_y = \begin{vmatrix} \displaystyle 1 & \displaystyle 2 & \displaystyle 1 \\ \displaystyle 1 & \displaystyle 3 & \displaystyle 1 \\ \displaystyle 1 & \displaystyle 2 & \displaystyle m \end{vmatrix} = (m-1)\begin{vmatrix} \displaystyle 1 & \displaystyle 2 \\ \displaystyle 1 & \displaystyle 3 \end{vmatrix} = (m-1)(3-2) = m-1$

$\Delta_z = \begin{vmatrix} \displaystyle 1 & \displaystyle 1 & \displaystyle 2 \\ \displaystyle 1 & \displaystyle 2 & \displaystyle 3 \\ \displaystyle 1 & \displaystyle 1 & \displaystyle 2 \end{vmatrix} = 0$

pentru că liniile 1 și 3 sunt egale. Rezultă

$\displaystyle x = \frac{m-1}{m-1} = 1, \quad y = \frac{m-1}{m-1} = 1, \quad z = \frac{0}{m-1} = 0$

Soluția este $(1,\ 1,\ 0)$, aceeași pentru orice $m \neq 1$. Verificare în ecuația a doua: $1 + 2 + 0 = 3$. Corect.

Pasul 3: cazul $m = 1$. Prima și a treia ecuație devin identice, $x + y + z = 2$, deci rămân două ecuații:

$\begin{dcases} x + y + z = 2 \\ x + 2y + z = 3 \end{dcases}$

Le scazi: $y = 1$. Rămâne $x + z = 1$, deci notezi $z = \alpha$ și obții $x = 1 - \alpha$. Sistemul este compatibil nedeterminat, cu soluțiile

$(x,\ y,\ z) = (1-\alpha,\ 1,\ \alpha), \quad \alpha \in \mathbb{R}$

Concluzie: pentru $m \neq 1$ sistemul e compatibil determinat cu soluția $(1, 1, 0)$; pentru $m = 1$ e compatibil nedeterminat, cu o infinitate de soluții. Niciun $m$ nu îl face incompatibil.