Combinatorică pentru admitere: permutări, aranjamente, combinări

Factorialul lui $n$ este produsul $n! = 1 \cdot 2 \cdot \dots \cdot n$, cu convenția

$0! = 1$

Numărul de moduri în care poți ordona $n$ obiecte distincte este numărul de permutări:

$P_n = n!$

În rapoarte de factoriale, încearcă simplificarea înainte de calculul produselor. Se simplifică prin scrierea recursivă $n! = n \cdot (n-1)!$; de exemplu $\dfrac{10!}{8!} = 10 \cdot 9 = 90$. După rezolvarea ecuației rezultate, păstrează doar soluțiile naturale pentru care factorialele sunt definite.

Aranjamentele numără câte moduri există de a alege $k$ obiecte din $n$ atunci când ordinea contează:

$A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!} = n(n-1)\dots(n-k+1)$

Combinările numără alegerile în care ordinea nu contează:

$\displaystyle C_n^k = \frac{n!}{k!\,(n-k)!} = \frac{A_n^k}{k!}$

Ambele au sens doar pentru $n, k$ naturale cu $0 \leq k \leq n$; condiția asta elimină soluții la ecuațiile cu parametru.

Testul practic pentru alegerea formulei: dacă a schimba ordinea obiectelor alese produce un alt rezultat, folosește $A_n^k$; dacă nu, $C_n^k$. Un podium cu locurile 1, 2, 3 înseamnă aranjamente. O echipă de 3 oameni înseamnă combinări.

Proprietățile combinărilor cerute la admitere:

$C_n^k = C_n^{n-k}, \qquad C_n^{k-1} + C_n^k = C_{n+1}^k$

Prima scurtează calculele: $C_9^6 = C_9^3$. A doua este regula lui Pascal, cea din spatele triunghiului cu același nume.

Dezvoltarea binomului:

$(a + b)^n = \sum_{k=0}^{n} C_n^k\, a^{n-k}\, b^k$

Termenul general, obiectul central al grilelor de aici:

$T_{k+1} = C_n^k\, a^{n-k}\, b^k$

Indexarea este capcana clasică: termenul al șaptelea este $T_7$, obținut pentru $k = 6$. Dezvoltarea are $n + 1$ termeni, nu $n$.

Pentru $n\geq1$, două sume se obțin prin alegeri particulare ale lui $a$ și $b$:

$C_n^0 + C_n^1 + \dots + C_n^n = 2^n, \qquad C_n^0 - C_n^1 + C_n^2 - \dots + (-1)^n C_n^n = 0$

Prima iese punând $a = b = 1$, a doua punând $a = 1$, $b = -1$. Același truc dă suma coeficienților oricărei dezvoltări: înlocuiești fiecare variabilă cu 1.

Termenul cu o proprietate dată. „Termenul care îl conține pe $x^p$” sau „termenul care nu conține $x$” din $(x^\alpha + x^\beta)^n$: scrii $T_{k+1}$, aduni exponenții lui $x$ într-o singură putere, egalezi exponentul cu $p$ (sau cu 0) și scoți $k$. Dacă $k$ nu iese natural în intervalul $[0, n]$, termenul cerut nu există, iar grila are de obicei și varianta asta de răspuns.

Ecuații cu $C_n^k$ sau $A_n^k$. Scrii formulele, simplifici factorialele, rezolvi ecuația algebrică rezultată și păstrezi doar soluțiile naturale care respectă $k \leq n$.

Numărare directă. Submulțimi, funcții, numere formate cu cifre date. Reperele: o mulțime cu $n$ elemente are $2^n$ submulțimi și $C_n^k$ submulțimi cu exact $k$ elemente; la numărarea numerelor, prima cifră nu are voie să fie 0, deci trateaz-o separat.

Determină termenul care nu conține $x$ din dezvoltarea $\left(x^2 + \dfrac{1}{x}\right)^9$, unde $x > 0$.

Pasul 1: scriem termenul general. Cu $a = x^2$, $b = x^{-1}$ și $n = 9$:

$T_{k+1} = C_9^k \left(x^2\right)^{9-k} \left(x^{-1}\right)^k = C_9^k\, x^{18 - 2k}\, x^{-k} = C_9^k\, x^{18 - 3k}$

Pasul 2: punem condiția pe exponent. Termenul nu conține $x$ când exponentul este 0:

$18 - 3k = 0 \implies k = 6$

Valoarea $k = 6$ este naturală și respectă $0 \leq k \leq 9$, deci termenul există.

Pasul 3: calculăm termenul. Termenul căutat este $T_7$:

$\displaystyle T_7 = C_9^6 = C_9^3 = \frac{9 \cdot 8 \cdot 7}{1 \cdot 2 \cdot 3} = \frac{504}{6} = 84$

Am folosit $C_9^6 = C_9^{9-6} = C_9^3$ ca să calculăm cu numere mici.

Răspuns: termenul liber este $T_7 = 84$.

Dacă ecuația exponentului nu ar fi dat un $k$ natural în $[0,9]$, dezvoltarea nu ar fi conținut un termen liber.