Pregătire pentru admiterea la facultate, pe materii.

Scoatem $3^x$ factor comun: $3^x(3+1)=12$, deci $3^x=3$. Verificăm: $3^2+3^1=9+3=12$, deci soluția este $x=1$.

Avem $f(0)=0$ și $\displaystyle f(\ln2)=\frac{2-1}{2+1}=\frac13$. În a doua integrală facem schimbarea de variabilă $x=f(t)$, cu $t$ de la $0$ la $\ln2$, apoi integrăm prin părți:

Ultimul termen este exact prima integrală din $I$, cu semn schimbat, deci cele două se reduc. Prin urmare, $I=\frac13\ln2$.

Derivăm fiecare termen: $f'(x)=e^x+3x^2+1$. Înlocuim $x=1$ și obținem $f'(1)=e+3+1=e+4$.

Polinomul $Q(X)=(X+1)P(X)-1$ are gradul $26$ și se anulează în $0,1,\ldots,25$, deci

Pe de o parte $Q(-1)=-1$, iar pe de alta $Q(-1)=c\cdot(-1)(-2)\cdots(-26)=c\cdot26!$, deci $c=-\frac{1}{26!}$.

Scriem $P=a_{25}X^{25}+\cdots+a_1X+a_0$. Avem $a_0=P(0)=1\ne0$, deci rădăcinile sunt nenule. Din relațiile lui Viète, suma produselor câte $24$ ale rădăcinilor este $\frac{a_1}{a_{25}}$, iar produsul lor este $-\frac{a_0}{a_{25}}$, deci

Aflăm $a_1$ comparând coeficientul lui $X$ din cele două scrieri ale lui $Q$. În $(X+1)P(X)-1$ el este $a_0+a_1=1+a_1$. În $c\,X(X-1)\cdots(X-25)$ el este

Deci $1+a_1=\frac{1}{26}$, adică $a_1=-\frac{25}{26}$. Prin urmare, $S=\frac{25}{26}$.

Din relațiile lui Viète, $x_1+x_2=5$ și $x_1x_2=6$. Prin urmare,

Avem $\det A=0\cdot1-1\cdot(-1)=1$. Din $\det(A^2)=(\det A)^2$ rezultă $\det(A^2)=1$.

Factorizăm: $x^2-4x+3=(x-1)(x-3)$ și $x^2-1=(x-1)(x+1)$. Pentru $x\ne1$, fracția este $(x-3)/(x+1)$. Limita este $(1-3)/(1+1)=-1$.

Din prima ecuație, $x=y+z$. Înlocuim în celelalte două:

Pentru $m=-2$ prima relație dispare și sistemul are o infinitate de soluții. Pentru $m\ne-2$ obținem $y=-2z$, iar a doua relație devine $(m-6)z=3$. Pentru $m=6$ sistemul este incompatibil. Așadar soluția este unică exact când $m\notin\{-2,6\}$, și atunci

Condiția din enunț devine

deci $z_0^{26}=1$, adică $|m-6|=3$. Valorile $m=3$ și $m=9$ sunt diferite de $-2$ și $6$, deci dau soluție unică.

Prin urmare, $m\in\{3,9\}$.

Radicalul impune $x\in[3,5]$. Inegalitatea strictă cere $x>3$. Putem ridica la pătrat: $-x^2+8x-15<(x-3)^2$, echivalent cu $(x-3)(x-4)>0$. Intersecția cu $(3,5]$ este $(4,5]$.

Scriem $x*y=(x-4)(y-4)+4$. Din $x*e=x$ obținem $(x-4)(e-4)=x-4$. Cum $x>4$, rezultă $e=5$, deci $S=11$.

Matricea $s$ este matricea sumelor parțiale. Prima linie și prima coloană sunt nule, iar relația

face ca $s[i][j]$ să fie suma elementelor lui $a$ din dreptunghiul cu colțurile $(1,1)$ și $(i,j)$.

Așadar $s[i][i]$ este numărul de valori $1$ din pătratul de latură $i$. Avem $a[i][j]=1$ exact când $i+j$ este impar, ca pe o tablă de șah cu $a[1][1]=0$. Pentru $i$ par, jumătate dintre cele $i^2$ celule au valoarea $1$. Pentru $i$ impar, celulele cu $0$ sunt cu una mai multe, deci avem $\frac{i^2-1}{2}$ valori $1$. În ambele cazuri, $s[i][i]=\left\lfloor\frac{i^2}{2}\right\rfloor$.

Între $1$ și $20$ sunt $10$ numere impare, iar

Pentru fiecare $i$ impar scădem $1$ înainte de împărțirea la $2$, deci

Prin urmare, programul afișează $1430$.

Nodurile $8$, $9$ și $10$ nu pot avea toate tatăl printre ele. Altfel, urcând din tată în tată, am rămâne mereu în $\{8,9,10\}$ și am intra într-un ciclu, fără să ajungem la rădăcină. Deci cel puțin unul dintre ele are tatăl între $1$ și $7$.

Dacă nodul $10$ are tatăl între $1$ și $7$, atunci $z\le7$ și $x+y+z\le10+10+7=27$. Altfel tatăl din $\{1,\ldots,7\}$ îl are nodul $8$ sau nodul $9$, iar $z\le9$, pentru că niciun nod nu este propriul tată. Suma este atunci cel mult $7+10+9=26$.

Atingem valoarea $27$ pentru $(x,y,z)=(10,10,7)$. Nodurile $8$ și $9$ sunt fiii lui $10$, iar $10$ este fiul lui $7$, deci arborele este valid. Frunzele sunt $4$, $5$, $6$, $8$ și $9$, adică exact cinci.

Prin urmare, valoarea maximă a sumei este $x+y+z=27$.

Pe diagonala principală $j=i$, deci elementele sunt $2i-n$ și

Pe diagonala secundară $j=n+1-i$, deci fiecare element este $i+(n+1-i)-n=1$, iar cele $n$ elemente dau $S_s=n$.

Prin urmare, $S_p=n$ și $S_s=n$.

Un graf conex este eulerian exact când toate vârfurile lui au grad par. Ambele grafuri sunt conexe și rămân conexe când adăugăm muchii, deci căutăm cel mai mare număr de muchii pentru care toate gradele sunt pare.

Pentru G1, graful complet cu $5$ vârfuri are $C_5^2=10$ muchii și toate gradele egale cu $4$, deci este eulerian. G1 are $4$ muchii, deci $M_1=10-4=6$.

Pentru G2, un vârf dintre cele $6$ are gradul cel mult $5$, deci cel mult $4$ dacă gradul trebuie să fie par. Graful rezultat are atunci cel mult $6\cdot4:2=12$ muchii. Atingem această valoare adăugând cele $6$ muchii dintre vârfurile aflate la distanță $2$ pe ciclu, de exemplu $(1,3)$ și $(2,4)$. Fiecare vârf are atunci gradul $4$, deci $M_2=12-6=6$.

Prin urmare, $M_1-M_2=0$.

Desenăm arborele apelurilor. Un apel cu $0<k<n$ face exact două apeluri noi, iar unul cu $k=0$ sau $k=n$ întoarce $1$ fără alte apeluri.

Ramura care întoarce $0$ nu este atinsă niciodată pornind de la $n=9$, $k=5$. Dintr-un apel cu $0<k<n$ rezultă $f(n-1,k-1)$ și $f(n-1,k)$, iar ambele au $0\le k'\le n-1$. Așadar fiecare frunză a arborelui întoarce $1$, iar rezultatul $f(9,5)$ este chiar numărul frunzelor.

Funcția are aceleași valori la capete și aceeași recurență ca numărul combinărilor, $C_n^0=C_n^n=1$ și $C_n^k=C_{n-1}^{k-1}+C_{n-1}^k$, deci $f(9,5)=C_9^5=126$.

Într-un arbore în care fiecare nod intern are exact doi fii, nodurile interne sunt cu $1$ mai puține decât frunzele. Arborele are deci $126+125=251$ de noduri.

Prin urmare, funcția este apelată de $251$ de ori, inclusiv la apelul inițial.

La fiecare pas, algoritmul adună la s ultima cifră a lui n și apoi o elimină, deci calculează suma cifrelor. Pentru n = 2026 obținem $6+2+0+2=10$, deci algoritmul afișează 10.

Aplicăm regula produsului. Fiecare dintre cele trei poziții poate fi $0$ sau $1$, independent de celelalte, deci există $2\cdot2\cdot2=2^3=8$ șiruri.

Pornim de la primul element al fiecărei secvențe și găsim ultima lui apariție prin căutare binară. Căutarea binară funcționează pentru că valoarea nu mai reapare după secvența ei. Pozițiile cu aceeași valoare formează un bloc continuu, iar după el toate valorile sunt diferite.

Fiecare căutare costă $O(\log n)$ pași, iar secvența următoare începe imediat după poziția găsită. Pentru cele $k$ secvențe aflăm toate lungimile, deci și numărul care apare de cele mai multe ori, în $O(k\log n)$.

Prin urmare, complexitatea algoritmului este $O(k\log n)$.

La o trecere a metodei bulelor comparăm pe rând perechile de elemente vecine, de la stânga la dreapta, și le interschimbăm pe cele aflate în ordine greșită.

Comparăm $4$ cu $1$ și le interschimbăm, obținând $[1,4,3]$.
Comparăm $4$ cu $3$ și le interschimbăm, obținând $[1,3,4]$.

Prin urmare, după prima trecere vectorul devine $[1,3,4]$.

În C, C++ și Pascal, un identificator este format din litere, cifre și caracterul _ și nu începe cu o cifră. Astfel, 3.14 și 2x încep cu o cifră, iar a+b, x,y și suma-total conțin caracterele nepermise +, , și -.

Prin urmare, numele valid este suma2total.

Randamentul planului înclinat este raportul dintre lucrul mecanic util, de ridicare a corpului la înălțimea $h$, și lucrul mecanic consumat de forța care trage corpul uniform în sus pe plan, pe lungimea $l$. Cu $h=l\sin\alpha$ și $F=mg\sin\alpha+\mu mg\cos\alpha$,

Unghiul de frecare $\varphi$ verifică $\operatorname{tg}\varphi=\mu$. Pentru $\alpha=\varphi$ avem $\operatorname{tg}\alpha=\mu$, deci

Prin urmare, randamentul planului înclinat este $\eta=50\%$.

Folosim condiția de echilibru și conservarea energiei mecanice. Măsurăm înălțimile față de suprafața apei, în metri. Sportivul atârnă cu capul în jos, deci glezna este cu $h_0=2\,\mathrm m$ deasupra capului, iar centrul de masă cu $1\,\mathrm m$ deasupra capului.

La echilibru capul este la $8\,\mathrm m$, deci glezna este la $10\,\mathrm m$, iar coarda are lungimea $25-10=15\,\mathrm m$. Forța elastică echilibrează greutatea:

În punctul cel mai de jos capul atinge apa, glezna este la $2\,\mathrm m$, iar coarda are lungimea $25-2=23\,\mathrm m$. Viteza este nulă atât la plecare, cât și aici. Centrul de masă coboară de la $25+1=26\,\mathrm m$ la $1\,\mathrm m$, adică cu $25\,\mathrm m$, iar energia potențială pierdută devine energie elastică:

Înlocuim $mg$ din prima relație și simplificăm prin $k$:

Rădăcina negativă nu are sens fizic. Prin urmare, lungimea corzii nedeformate este $l_0=13\,\mathrm m$.

Rezolvăm rețeaua de la dreapta la stânga, cu legea lui Ohm pentru fiecare rezistor și cu prima lege a lui Kirchhoff în fiecare nod. Măsurăm potențialele față de bara de jos. Fiecare rezistor are $R=1\,\Omega$, deci tensiunea pe el, în volți, este egală cu curentul prin el, în amperi.

Prin rezistorul vertical $CD$ trece $1\,\mathrm A$, deci $V_C=1\,\mathrm V$. Același curent trece prin rezistorul orizontal din stânga lui $C$. Urcăm apoi treaptă cu treaptă:

Nodul dinaintea lui $C$ are $1+1=2\,\mathrm V$, derivația lui conduce $2\,\mathrm A$, iar rezistorul orizontal din stânga conduce $1+2=3\,\mathrm A$.
Nodul următor are $2+3=5\,\mathrm V$, derivația conduce $5\,\mathrm A$, iar rezistorul din stânga conduce $3+5=8\,\mathrm A$.
Primul nod are $5+8=13\,\mathrm V$, derivația conduce $13\,\mathrm A$, iar primul rezistor orizontal conduce $8+13=21\,\mathrm A$.

Tensiunea dintre $A$ și $B$ este tensiunea primului nod plus căderea pe primul rezistor orizontal:

Prin urmare, tensiunea aplicată la bornele $AB$ este $U_{AB}=34\,\mathrm V$.

Aplicăm principiul întâi al termodinamicii. Notăm cu $x$ lungimea compartimentului cu gaz și cu $S$ secțiunea cilindrului. Resortul are lungimea nedeformată egală cu lungimea cilindrului, deci compresia lui este chiar $x$. Pistonul este în echilibru, iar în dreapta este vid, deci

La o variație mică a lui $x$, gazul efectuează lucrul mecanic

Pentru gazul monoatomic $dU=\frac32\nu R\,dT$, deci

Prin urmare, căldura molară a gazului este $C=\frac{\delta Q}{\nu\,dT}=2R$.

Aplicăm legea lui Ohm pentru întregul circuit, $E=I(R+r)$, ca să aflăm rezistența internă:

La scurtcircuit rezistența exterioară este nulă, deci

Prin urmare, intensitatea curentului de scurtcircuit este $I_{sc}=5\,\mathrm A$.

Folosim faptul că un voltmetru ideal nu absoarbe curent, deci un rezistor aflat în serie cu el nu are cădere de tensiune.

Configurația care verifică ambele măsurători are firul de sus legat direct de la I la II, un rezistor $R$ în serie pe firul de jos și un rezistor $R$ între fire, lângă terminalul II.

Când aplicăm $U$ la terminalul I, curentul trece prin rezistorul în serie și prin cel dintre fire. Cele două rezistențe egale formează un divizor de tensiune, iar voltmetrul de la II măsoară tensiunea pe rezistorul dintre fire, adică $\frac U2$.

Când aplicăm $U$ la terminalul II, rezistorul dintre fire este legat direct la sursă. Prin rezistorul în serie spre terminalul I nu trece curent, deci voltmetrul indică $U$.

Celelalte configurații nu respectă ambele condiții. De exemplu, cu două rezistențe în serie pe firul de jos, prima indicație ar fi $\frac U3$, iar cu rezistorul dintre fire lângă terminalul I, prima indicație ar fi $U$.

Prin urmare, cutia conține un rezistor în serie pe firul de jos și un rezistor între fire, lângă terminalul II.

Aplicăm ecuația de stare a gazului ideal, $pV=\frac m\mu RT$. Cum $\rho=\frac mV$, ea devine $p=\frac{\rho RT}{\mu}$. Cu $\mu=29\,\mathrm{g/mol}=0{,}029\,\mathrm{kg/mol}$,

Prin urmare, presiunea aerului din tub este $p=332{,}4\,\mathrm{kPa}$.

Viteza medie este raportul dintre distanța parcursă și durata mișcării. Durata este $t=9\cdot24\,\mathrm h+2\,\mathrm h=218\,\mathrm h$, deci

Prin urmare, viteza medie a fost $v_m=5200\,\mathrm{km/h}$.

Randamentul ciclului Carnot depinde doar de temperaturile rezervoarelor, $\eta=1-\frac{T_{\mathrm{rece}}}{T_{\mathrm{cald}}}$. Aici rezervorul rece are $T_1=300\,\mathrm K$, iar cel cald $T_2=400\,\mathrm K$, deci inițial

După ce temperatura rezervorului rece scade la $250\,\mathrm K$,

Prin urmare, raportul dintre randamentul actual și cel inițial este

Aplicăm conservarea energiei mecanice, deoarece nu există frecări. Măsurăm lungimile în centimetri.

Când corpul 2 coboară cu $y$ sub punctul $C$, fiecare porțiune de fir dintre un scripete și corpul 2 are lungimea $\sqrt{30^2+y^2}$, după teorema lui Pitagora. Firele sunt inextensibile, deci fiecare corp lateral urcă cu

În poziția cea mai de jos corpul 2 are viteza nulă, deci și corpurile 1 și 3, ale căror viteze depind de viteza corpului 2, sunt oprite. Energia cinetică este nulă la plecare și în această poziție, deci energia potențială pierdută de corpul 2 este egală cu cea câștigată de corpurile 1 și 3:

Ridicăm la pătrat și obținem $\frac{y^2}{4}+30y+900=900+y^2$, adică $30y=\frac34y^2$, cu soluția nenulă $y=40\,\mathrm{cm}$.

Prin urmare, distanța maximă cu care coboară corpul 2 este $40\,\mathrm{cm}$.