Primitive și integrale pentru admitere

$F$ este o primitivă a lui $f$ pe un interval dacă $F$ este derivabilă și $F' = f$. Orice funcție continuă pe un interval admite primitive. Două primitive ale aceleiași funcții diferă printr-o constantă, de aceea integrala nedefinită se scrie cu $C$:

$\displaystyle \int f(x)\,dx = F(x) + C$

Verificarea oricărei primitive este o derivare: dacă ai calculat $\displaystyle \int f(x)\,dx = F(x) + C$, atunci $F'(x)$ trebuie să dea exact $f(x)$. Verifici astfel semnele, factorii și expresia obținută.

Integrala nedefinită este liniară: $\displaystyle \int (\alpha f + \beta g) = \alpha \int f + \beta \int g$. Integrala unui produs nu este, în general, produsul integralelor. Pentru asemenea expresii poți folosi integrarea prin părți sau schimbarea de variabilă.

Formulele se aplică pe intervale pe care expresiile sunt definite. În formulele cu $x^2+a^2$, $x^2-a^2$ și $a^2-x^2$ presupunem $a>0$. Radicalul $\sqrt{a^2-x^2}$ de la numitor cere $|x|<a$, iar $\sqrt{x^2-a^2}$ cere $|x|>a$. La puteri reale alegem un interval din $x>0$; pentru exponenți întregi, domeniul poate fi mai larg.

$\displaystyle \int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \ (n \neq -1), \qquad \int \frac{1}{x}\,dx = \ln|x| + C$

$\displaystyle \int e^x\,dx = e^x + C, \qquad \int a^x\,dx = \frac{a^x}{\ln a} + C \ (a > 0,\ a \neq 1)$

$\displaystyle \int \sin x\,dx = -\cos x + C, \qquad \int \cos x\,dx = \sin x + C$

$\displaystyle \int \frac{1}{\cos^2 x}\,dx = \operatorname{tg} x + C, \qquad \int \frac{1}{\sin^2 x}\,dx = -\operatorname{ctg} x + C$

$\displaystyle \int \frac{1}{x^2 + a^2}\,dx = \frac{1}{a}\operatorname{arctg}\frac{x}{a} + C, \qquad \int \frac{1}{x^2 - a^2}\,dx = \frac{1}{2a}\ln\left|\frac{x-a}{x+a}\right| + C$

$\displaystyle \int \frac{1}{\sqrt{x^2 + a^2}}\,dx = \ln\left(x + \sqrt{x^2 + a^2}\right) + C, \qquad \int \frac{1}{\sqrt{x^2 - a^2}}\,dx = \ln\left|x + \sqrt{x^2 - a^2}\right| + C$

$\displaystyle \int \frac{1}{\sqrt{a^2 - x^2}}\,dx = \arcsin\frac{x}{a} + C$

Atenție la cele trei capcane de semn: minusul de la $\displaystyle \int \sin$, minusul de la $\displaystyle \int \frac{1}{\sin^2}$ și modulul de la $\ln|x|$.

Pentru $f$ continuă pe $[a, b]$ și $F$ o primitivă a ei:

$\displaystyle \int_a^b f(x)\,dx = F(x)\Big|_a^b = F(b) - F(a)$

Constanta $C$ dispare prin scădere, de aceea la integrala definită nu o mai scrii. Proprietățile care se folosesc efectiv în grile:

• liniaritate, la fel ca la integrala nedefinită;
• aditivitate la interval: $\displaystyle \int_a^b = \int_a^c + \int_c^b$;
• inversarea capetelor schimbă semnul: $\displaystyle \int_b^a = -\int_a^b$;
• monotonie: dacă $f \le g$ pe $[a, b]$, atunci $\displaystyle \int_a^b f \le \int_a^b g$; în particular o funcție pozitivă are integrală pozitivă.

Geometric, pentru $f \ge 0$ integrala este aria de sub grafic între $x = a$ și $x = b$, iar aria dintre două grafice este $\displaystyle \int_a^b \left(f(x) - g(x)\right)dx$ când $f \ge g$ pe interval. Monotonia este unealta din spatele grilelor de tip „compară integralele fără a le calcula”.

Formula vine din derivarea produsului:

$\displaystyle \int f(x)\,g'(x)\,dx = f(x)\,g(x) - \int f'(x)\,g(x)\,dx$

și identic la integrala definită, cu termenul $f\,g$ evaluat între capete. Toată arta este alegerea: $f$ trebuie să se simplifice prin derivare, iar $g'$ trebuie să aibă primitivă imediată.

Rețete care acoperă grilele standard:

• polinom $\times\ e^x$, $\sin x$ sau $\cos x$: derivezi polinomul, deci $f =$ polinomul;
• expresii cu $\ln x$, $\arcsin x$ sau $\operatorname{arctg} x$: acestea devin $f$, pentru că derivata lor este algebrică și scapă de funcția „incomodă”;
• $\displaystyle \int \ln x\,dx$ se face cu $g' = 1$: rezultă $x\ln x - x + C$.

Dacă integrala rămasă nu este mai ușor de calculat, încearcă o altă alegere sau verifică dacă mai este necesară o aplicare a metodei.

Metoda citește regula lanțului în sens invers. Dacă în integrand recunoști o funcție interioară $u(x)$ împreună cu derivata ei $u'(x)$ ca factor, atunci

$\displaystyle \int f(u(x))\,u'(x)\,dx = F(u(x)) + C$

unde $F$ este o primitivă a lui $f$. Practic notezi $u = u(x)$, scrii $du = u'(x)\,dx$ și integrala devine $\displaystyle \int f(u)\,du$, una din tabel.

La integrala definită schimbi și limitele: dacă $x$ merge de la $a$ la $b$, atunci $u$ merge de la $u(a)$ la $u(b)$, și nu te mai întorci la $x$.

Formele care apar cel mai des: $\displaystyle \int \frac{u'}{u} = \ln|u| + C$, de exemplu $\displaystyle \int \frac{2x}{x^2+1}\,dx = \ln(x^2+1) + C$; $\displaystyle \int u'\,e^{u} = e^u + C$; $\displaystyle \int u'\,u^n = \frac{u^{n+1}}{n+1} + C$ (pentru $n \neq -1$). Reflexul corect în grile: vezi o compunere, cauți derivata interiorului printre factori. Dacă e acolo, până la o constantă, substituția iese în două rânduri.

Calculează integralele:

$\displaystyle I = \int_0^1 x\,e^x\,dx \qquad J = \int_0^1 \frac{x}{x^2 + 1}\,dx$

$I$, integrare prin părți. Produsul polinom $\times\ e^x$ cere derivarea polinomului: alegi $f(x) = x$ și $g'(x) = e^x$, deci $f'(x) = 1$ și $g(x) = e^x$. Formula dă

$\displaystyle I = x\,e^x\Big|_0^1 - \int_0^1 1 \cdot e^x\,dx = \left(1 \cdot e^1 - 0 \cdot e^0\right) - e^x\Big|_0^1$

Calculezi fiecare termen: $x\,e^x\Big|_0^1 = e$ și $e^x\Big|_0^1 = e - 1$. Deci

$I = e - (e - 1) = 1$

Verificare rapidă prin derivare: $\left(x\,e^x - e^x\right)' = e^x + x\,e^x - e^x = x\,e^x$, deci primitiva folosită e corectă.

$J$, schimbare de variabilă. Numărătorul este, până la un factor, derivata numitorului: pentru $u = x^2 + 1$ ai $du = 2x\,dx$, adică $x\,dx = \frac{1}{2}\,du$. Limitele se transformă: $x = 0 \Rightarrow u = 1$ și $x = 1 \Rightarrow u = 2$. Integrala devine

$\displaystyle J = \frac{1}{2}\int_1^2 \frac{1}{u}\,du = \frac{1}{2}\ln u\Big|_1^2 = \frac{1}{2}\left(\ln 2 - \ln 1\right) = \frac{\ln 2}{2}$

Modulul de la $\ln|u|$ nu mai e necesar pentru că $u = x^2 + 1 > 0$ pe tot intervalul.

Concluzie: $I = 1$ și $J = \dfrac{\ln 2}{2}$.