Primitive și integrale pentru admitere

$F$ este o primitivă a lui $f$ pe un interval dacă $F$ este derivabilă și $F' = f$. Orice funcție continuă pe un interval admite primitive. Două primitive ale aceleiași funcții diferă printr-o constantă, de aceea integrala nedefinită se scrie cu $C$:

$\displaystyle \int f(x)\,dx = F(x) + C$

Verificarea oricărei primitive este o derivare: dacă ai calculat $\displaystyle \int f(x)\,dx = F(x) + C$, atunci $F'(x)$ trebuie să dea exact $f(x)$. Este cel mai ieftin test din tot subcapitolul și prinde majoritatea greșelilor de semn.

Integrala nedefinită este liniară: $\displaystyle \int (\alpha f + \beta g) = \alpha \int f + \beta \int g$. Atât. Nu există formulă pentru integrala produsului sau a câtului; pentru ele există metodele din secțiunile următoare.

Tabelul este oglinda tabelului de derivate, citit de la dreapta la stânga:

$\displaystyle \int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \ (n \neq -1), \qquad \int \frac{1}{x}\,dx = \ln|x| + C$

$\displaystyle \int e^x\,dx = e^x + C, \qquad \int a^x\,dx = \frac{a^x}{\ln a} + C \ (a > 0,\ a \neq 1)$

$\displaystyle \int \sin x\,dx = -\cos x + C, \qquad \int \cos x\,dx = \sin x + C$

$\displaystyle \int \frac{1}{\cos^2 x}\,dx = \operatorname{tg} x + C, \qquad \int \frac{1}{\sin^2 x}\,dx = -\operatorname{ctg} x + C$

$\displaystyle \int \frac{1}{x^2 + a^2}\,dx = \frac{1}{a}\operatorname{arctg}\frac{x}{a} + C, \qquad \int \frac{1}{x^2 - a^2}\,dx = \frac{1}{2a}\ln\left|\frac{x-a}{x+a}\right| + C$

$\displaystyle \int \frac{1}{\sqrt{x^2 + a^2}}\,dx = \ln\left(x + \sqrt{x^2 + a^2}\right) + C, \qquad \int \frac{1}{\sqrt{x^2 - a^2}}\,dx = \ln\left|x + \sqrt{x^2 - a^2}\right| + C$

$\displaystyle \int \frac{1}{\sqrt{a^2 - x^2}}\,dx = \arcsin\frac{x}{a} + C$

Atenție la cele trei capcane de semn: minusul de la $\displaystyle \int \sin$, minusul de la $\displaystyle \int \frac{1}{\sin^2}$ și modulul de la $\ln|x|$.

Pentru $f$ continuă pe $[a, b]$ și $F$ o primitivă a ei:

$\displaystyle \int_a^b f(x)\,dx = F(x)\Big|_a^b = F(b) - F(a)$

Constanta $C$ dispare prin scădere, de aceea la integrala definită nu o mai scrii. Proprietățile care se folosesc efectiv în grile:

• liniaritate, la fel ca la integrala nedefinită;
• aditivitate la interval: $\displaystyle \int_a^b = \int_a^c + \int_c^b$;
• inversarea capetelor schimbă semnul: $\displaystyle \int_b^a = -\int_a^b$;
• monotonie: dacă $f \le g$ pe $[a, b]$, atunci $\displaystyle \int_a^b f \le \int_a^b g$; în particular o funcție pozitivă are integrală pozitivă.

Geometric, pentru $f \ge 0$ integrala este aria de sub grafic între $x = a$ și $x = b$, iar aria dintre două grafice este $\displaystyle \int_a^b \left(f(x) - g(x)\right)dx$ când $f \ge g$ pe interval. Monotonia este unealta din spatele grilelor de tip „compară integralele fără a le calcula”.

Formula vine din derivarea produsului:

$\displaystyle \int f(x)\,g'(x)\,dx = f(x)\,g(x) - \int f'(x)\,g(x)\,dx$

și identic la integrala definită, cu termenul $f\,g$ evaluat între capete. Toată arta este alegerea: $f$ trebuie să se simplifice prin derivare, iar $g'$ trebuie să aibă primitivă imediată.

Rețete care acoperă grilele standard:

• polinom $\times\ e^x$, $\sin x$ sau $\cos x$: derivezi polinomul, deci $f =$ polinomul;
• expresii cu $\ln x$, $\arcsin x$ sau $\operatorname{arctg} x$: acestea devin $f$, pentru că derivata lor este algebrică și scapă de funcția „incomodă”;
• $\displaystyle \int \ln x\,dx$ se face cu $g' = 1$: rezultă $x\ln x - x + C$.

Dacă după o aplicare integrala rămasă e mai complicată decât cea inițială, ai ales invers. Schimbă rolurile și reia.

Metoda citește regula lanțului în sens invers. Dacă în integrand recunoști o funcție interioară $u(x)$ împreună cu derivata ei $u'(x)$ ca factor, atunci

$\displaystyle \int f(u(x))\,u'(x)\,dx = F(u(x)) + C$

unde $F$ este o primitivă a lui $f$. Practic notezi $u = u(x)$, scrii $du = u'(x)\,dx$ și integrala devine $\displaystyle \int f(u)\,du$, una din tabel.

La integrala definită schimbi și limitele: dacă $x$ merge de la $a$ la $b$, atunci $u$ merge de la $u(a)$ la $u(b)$, și nu te mai întorci la $x$.

Formele care apar cel mai des: $\displaystyle \int \frac{u'}{u} = \ln|u| + C$, de exemplu $\displaystyle \int \frac{2x}{x^2+1}\,dx = \ln(x^2+1) + C$; $\displaystyle \int u'\,e^{u} = e^u + C$; $\displaystyle \int u'\,u^n = \frac{u^{n+1}}{n+1} + C$ (pentru $n \neq -1$). Reflexul corect în grile: vezi o compunere, cauți derivata interiorului printre factori. Dacă e acolo, până la o constantă, substituția iese în două rânduri.

Calculează integralele:

$\displaystyle I = \int_0^1 x\,e^x\,dx \qquad J = \int_0^1 \frac{x}{x^2 + 1}\,dx$

$I$, integrare prin părți. Produsul polinom $\times\ e^x$ cere derivarea polinomului: alegi $f(x) = x$ și $g'(x) = e^x$, deci $f'(x) = 1$ și $g(x) = e^x$. Formula dă

$\displaystyle I = x\,e^x\Big|_0^1 - \int_0^1 1 \cdot e^x\,dx = \left(1 \cdot e^1 - 0 \cdot e^0\right) - e^x\Big|_0^1$

Calculezi fiecare termen: $x\,e^x\Big|_0^1 = e$ și $e^x\Big|_0^1 = e - 1$. Deci

$I = e - (e - 1) = 1$

Verificare rapidă prin derivare: $\left(x\,e^x - e^x\right)' = e^x + x\,e^x - e^x = x\,e^x$, deci primitiva folosită e corectă.

$J$, schimbare de variabilă. Numărătorul este, până la un factor, derivata numitorului: pentru $u = x^2 + 1$ ai $du = 2x\,dx$, adică $x\,dx = \frac{1}{2}\,du$. Limitele se transformă: $x = 0 \Rightarrow u = 1$ și $x = 1 \Rightarrow u = 2$. Integrala devine

$\displaystyle J = \frac{1}{2}\int_1^2 \frac{1}{u}\,du = \frac{1}{2}\ln u\Big|_1^2 = \frac{1}{2}\left(\ln 2 - \ln 1\right) = \frac{\ln 2}{2}$

Modulul de la $\ln|u|$ nu mai e necesar pentru că $u = x^2 + 1 > 0$ pe tot intervalul.

Concluzie: $I = 1$ și $J = \dfrac{\ln 2}{2}$.