Matrice și determinanți pentru admitere

O matrice $A \in \mathcal{M}_{m,n}(\mathbb{R})$ are $m$ linii și $n$ coloane. Aduni două matrice element cu element, dar numai dacă au același tip. Înmulțirea cu un scalar înmulțește fiecare element.

Produsul cere compatibilitate: $A \in \mathcal{M}_{m,n}$ și $B \in \mathcal{M}_{n,p}$ dau $AB \in \mathcal{M}_{m,p}$, cu

$(AB)_{ij} = \sum_{k=1}^{n} a_{ik}\,b_{kj}$

adică linia $i$ din $A$ înmulțită element cu element cu coloana $j$ din $B$, apoi însumate. Produsul nu este comutativ: în general $AB \neq BA$. Pentru matrice pătratice, elementul neutru este matricea unitate $I_n$, cu $1$ pe diagonală și $0$ în rest: $A I_n = I_n A = A$.

Transpusa $A^t$ schimbă liniile cu coloanele. Reține $(AB)^t = B^t A^t$, cu ordinea inversată. Puterile $A^n = A \cdot A \cdots A$ se calculează de regulă prin inducție: calculezi $A^2$, $A^3$, ghicești forma generală și o demonstrezi.

Pentru ordinul 2 formula este directă:

$\begin{vmatrix} \displaystyle a & \displaystyle b \\ \displaystyle c & \displaystyle d \end{vmatrix} = ad - bc$

Pentru ordinul 3 folosești regula lui Sarrus: copiezi primele două linii sub determinant, aduni produsele de pe cele trei diagonale descendente și scazi produsele de pe cele trei diagonale ascendente:

$\begin{vmatrix} \displaystyle a_{11} & \displaystyle a_{12} & \displaystyle a_{13} \\ \displaystyle a_{21} & \displaystyle a_{22} & \displaystyle a_{23} \\ \displaystyle a_{31} & \displaystyle a_{32} & \displaystyle a_{33} \end{vmatrix} = a_{11}a_{22}a_{33} + a_{21}a_{32}a_{13} + a_{31}a_{12}a_{23} - a_{13}a_{22}a_{31} - a_{23}a_{32}a_{11} - a_{33}a_{12}a_{21}$

Alternativa este dezvoltarea după o linie sau o coloană: fiecare element $a_{ij}$ se înmulțește cu $(-1)^{i+j}$ și cu determinantul de ordin 2 rămas după tăierea liniei $i$ și coloanei $j$. Dezvoltă după linia sau coloana cu cele mai multe zerouri.

Acestea sunt proprietățile care transformă un calcul de trei minute într-unul de zece secunde:

• $\det(A^t) = \det A$.
• Dacă schimbi două linii între ele, determinantul își schimbă semnul.
• Două linii egale sau proporționale dau determinant $0$. La fel o linie de zerouri.
• Un factor comun de pe o linie iese în fața determinantului. De aici $\det(\lambda A) = \lambda^n \det A$ pentru $A$ de ordin $n$, nu $\lambda \det A$.
• Dacă aduni la o linie un multiplu al altei linii, determinantul nu se schimbă. Aceasta este unealta principală pentru a fabrica zerouri înainte de dezvoltare.
• $\det(AB) = \det A \cdot \det B$, deci $\det(A^n) = (\det A)^n$.
• Determinantul unei matrice triunghiulare este produsul elementelor de pe diagonală.

Toate proprietățile despre linii sunt valabile și pentru coloane.

Matricea pătratică $A$ este inversabilă dacă și numai dacă $\det A \neq 0$. Atunci

$A^{-1} = \frac{1}{\det A}\,A^*$

unde $A^*$ este adjuncta: matricea complemenților algebrici $(-1)^{i+j}\,d_{ij}$, transpusă. Verifică mereu rezultatul prin $A \cdot A^{-1} = I_n$.

Pentru ordinul 2 există o scurtătură pe care merită să o știi pe de rost:

$\begin{pmatrix} \displaystyle a & \displaystyle b \\ \displaystyle c & \displaystyle d \end{pmatrix}^{-1} = \frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix} \displaystyle d & \displaystyle -b \\ \displaystyle -c & \displaystyle a \end{pmatrix}$

adică schimbi elementele de pe diagonala principală între ele, schimbi semnul celorlalte două și împarți la determinant. Pentru produse reține $(AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}$, tot cu ordinea inversată. Ecuațiile matriceale se rezolvă cu inversa: din $AX = B$ obții $X = A^{-1}B$, iar din $XA = B$ obții $X = BA^{-1}$. Partea din care înmulțești contează.

Orice matrice $A = \begin{pmatrix} \displaystyle a & \displaystyle b \\ \displaystyle c & \displaystyle d \end{pmatrix}$ își verifică propria ecuație caracteristică:

$A^2 - (a+d)\,A + (ad-bc)\,I_2 = O_2$

Suma $a+d$ este urma matricei, notată $\operatorname{tr} A$, iar $ad-bc$ este determinantul. Relația apare des în grile pentru că reduce orice putere $A^n$ la o combinație $\alpha A + \beta I_2$: exprimi $A^2$ din relație și înlocuiești repetat.

Tot din ea scoți inversa fără adjunctă: dacă $\det A \neq 0$, rearanjezi relația în $A\,(\operatorname{tr}A \cdot I_2 - A) = \det A \cdot I_2$, deci

$A^{-1} = \frac{1}{\det A}\left(\operatorname{tr}A \cdot I_2 - A\right)$

La un subiect cu puteri mari de matrice, primul reflex este Cayley-Hamilton sau inducția, nu calculul brut.

Fie matricea $A = \begin{pmatrix} \displaystyle 3 & \displaystyle 1 \\ \displaystyle 2 & \displaystyle 1 \end{pmatrix}$.

a) Calculează $\det A$ și arată că $A$ este inversabilă.
b) Verifică relația $A^2 = 4A - I_2$.
c) Deduce $A^{-1}$ din relația de la b) și rezolvă ecuația $AX = \begin{pmatrix} \displaystyle 1 \\ \displaystyle 0 \end{pmatrix}$.

a) $\det A = 3 \cdot 1 - 1 \cdot 2 = 1 \neq 0$, deci $A$ este inversabilă.

b) Calculezi direct pătratul:

$A^2 = \begin{pmatrix} \displaystyle 3 & \displaystyle 1 \\ \displaystyle 2 & \displaystyle 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \displaystyle 3 & \displaystyle 1 \\ \displaystyle 2 & \displaystyle 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \displaystyle 9+2 & \displaystyle 3+1 \\ \displaystyle 6+2 & \displaystyle 2+1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \displaystyle 11 & \displaystyle 4 \\ \displaystyle 8 & \displaystyle 3 \end{pmatrix}$

Apoi membrul drept:

$4A - I_2 = \begin{pmatrix} \displaystyle 12 & \displaystyle 4 \\ \displaystyle 8 & \displaystyle 4 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} \displaystyle 1 & \displaystyle 0 \\ \displaystyle 0 & \displaystyle 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \displaystyle 11 & \displaystyle 4 \\ \displaystyle 8 & \displaystyle 3 \end{pmatrix}$

Cele două matrice coincid, deci $A^2 = 4A - I_2$. Este exact Cayley-Hamilton: $\operatorname{tr}A = 4$ și $\det A = 1$.

c) Din $A^2 - 4A + I_2 = O_2$ rearanjezi: $A\,(4I_2 - A) = I_2$. Prin urmare

$A^{-1} = 4I_2 - A = \begin{pmatrix} \displaystyle 4 & \displaystyle 0 \\ \displaystyle 0 & \displaystyle 4 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} \displaystyle 3 & \displaystyle 1 \\ \displaystyle 2 & \displaystyle 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \displaystyle 1 & \displaystyle -1 \\ \displaystyle -2 & \displaystyle 3 \end{pmatrix}$

Ecuația $AX = \begin{pmatrix} \displaystyle 1 \\ \displaystyle 0 \end{pmatrix}$ se rezolvă înmulțind la stânga cu $A^{-1}$:

$X = A^{-1}\begin{pmatrix} \displaystyle 1 \\ \displaystyle 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \displaystyle 1 \\ \displaystyle -2 \end{pmatrix}$

Verificare: $A\begin{pmatrix} \displaystyle 1 \\ \displaystyle -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \displaystyle 3-2 \\ \displaystyle 2-2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \displaystyle 1 \\ \displaystyle 0 \end{pmatrix}$. Corect.