Logaritmi: proprietăți și ecuații pentru admitere

Logaritmul este exponentul: $\log_a b = c$ înseamnă $a^c = b$. Definiția cere trei condiții, toate obligatorii:

$a > 0, \qquad a \neq 1, \qquad b > 0$

De aici, două identități pe care le folosești constant:

$a^{\log_a b} = b, \qquad \log_a a^c = c$

Notațiile uzuale: $\lg x = \log_{10} x$ și $\ln x = \log_e x$.

La orice ecuație sau inecuație logaritmică, primul pas este scrierea condițiilor de existență pentru fiecare logaritm din enunț. Abia apoi transformi. Soluțiile care nu respectă domeniul se elimină la final, iar grilele conțin de multe ori exact o astfel de capcană.

Pentru $a > 0$, $a \neq 1$ și $x, y > 0$:

$\log_a (xy) = \log_a x + \log_a y$

$\log_a \frac{x}{y} = \log_a x - \log_a y$

$\log_a x^n = n \log_a x$

Schimbarea de bază, cu $c > 0$, $c \neq 1$:

$\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}$

Din ea rezultă două consecințe frecvente la grile:

$\displaystyle \log_a b = \frac{1}{\log_b a} \ (b > 0,\ b \neq 1), \qquad \log_{a^n} b = \frac{1}{n} \log_a b \ (n \neq 0)$

Când într-o grilă apar logaritmi în baze diferite, adu-i pe toți în aceeași bază prin schimbarea de bază și problema devine algebră obișnuită.

Poți începe cu una dintre următoarele metode, în funcție de expresiile din ecuație.

Egalarea argumentelor. Funcția logaritmică este injectivă, deci $\log_a f(x) = \log_a g(x)$ dă $f(x) = g(x)$, în condițiile de existență.

Trecerea la forma exponențială. $\log_a f(x) = c$ dă direct $f(x) = a^c$.

Substituția. Dacă ecuația conține doar $\log_a x$ la diferite puteri, notezi $t = \log_a x$ și rezolvi o ecuație algebrică în $t$. De exemplu, $\log_2^2 x - 3\log_2 x + 2 = 0$ devine $t^2 - 3t + 2 = 0$, cu $t \in \{1, 2\}$, deci $x \in \{2, 4\}$.

Scrie condițiile de existență înainte de transformări și verifică soluțiile obținute în domeniul inițial.

Funcția $f(x) = \log_a x$ este strict crescătoare pentru $a > 1$ și strict descrescătoare pentru $0 < a < 1$. Asta dictează sensul inegalității când elimini logaritmul:

$a > 1: \quad \log_a f(x) < \log_a g(x) \iff 0 < f(x) < g(x)$

$0 < a < 1: \quad \log_a f(x) < \log_a g(x) \iff f(x) > g(x) > 0$

Baza subunitară întoarce sensul. Verifică baza înainte să compari argumentele. Soluția finală este intersecția dintre soluția inecuației transformate și condițiile de existență, scrisă ca interval.

Rezolvă în $\mathbb{R}$ ecuația $\log_2(x-1) + \log_2(x+1) = 3$.

Pasul 1: condițiile de existență. Ambele argumente trebuie să fie strict pozitive: $x - 1 > 0$ și $x + 1 > 0$, deci $x > 1$. Domeniul este $D = (1, +\infty)$.

Pasul 2: comprimăm suma într-un singur logaritm. Folosim $\log_a x + \log_a y = \log_a(xy)$:

$\log_2\left[(x-1)(x+1)\right] = 3 \implies \log_2\left(x^2 - 1\right) = 3$

Pasul 3: trecem la forma exponențială.

$x^2 - 1 = 2^3 = 8 \implies x^2 = 9 \implies x = 3 \ \text{sau} \ x = -3$

Pasul 4: verificăm în domeniu. $x = 3 \in (1, +\infty)$ convine. $x = -3$ nu respectă $x > 1$, deci se elimină; pentru el, logaritmii din enunț nici nu există.

Răspuns: $x = 3$.

Dacă ai păstra și $-3$, ai include o valoare pentru care expresia inițială nu este definită.