Logaritmi: proprietăți și ecuații pentru admitere

Logaritmul este exponentul: $\log_a b = c$ înseamnă $a^c = b$. Definiția cere trei condiții, toate obligatorii:

$a > 0, \qquad a \neq 1, \qquad b > 0$

De aici, două identități pe care le folosești constant:

$a^{\log_a b} = b, \qquad \log_a a^c = c$

Notațiile uzuale: $\lg x = \log_{10} x$ și $\ln x = \log_e x$.

La orice ecuație sau inecuație logaritmică, primul pas este scrierea condițiilor de existență pentru fiecare logaritm din enunț. Abia apoi transformi. Soluțiile care nu respectă domeniul se elimină la final, iar grilele conțin de multe ori exact o astfel de capcană.

Pentru $a > 0$, $a \neq 1$ și $x, y > 0$:

$\log_a (xy) = \log_a x + \log_a y$

$\log_a \frac{x}{y} = \log_a x - \log_a y$

$\log_a x^n = n \log_a x$

Schimbarea de bază, cu $c > 0$, $c \neq 1$:

$\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}$

Din ea rezultă două consecințe frecvente la grile:

$\displaystyle \log_a b = \frac{1}{\log_b a} \ (b > 0,\ b \neq 1), \qquad \log_{a^n} b = \frac{1}{n} \log_a b \ (n \neq 0)$

Când într-o grilă apar logaritmi în baze diferite, adu-i pe toți în aceeași bază prin schimbarea de bază și problema devine algebră obișnuită.

Aproape orice ecuație logaritmică de admitere cade într-unul din trei tipare.

Egalarea argumentelor. Funcția logaritmică este injectivă, deci $\log_a f(x) = \log_a g(x)$ dă $f(x) = g(x)$, în condițiile de existență.

Trecerea la forma exponențială. $\log_a f(x) = c$ dă direct $f(x) = a^c$.

Substituția. Dacă ecuația conține doar $\log_a x$ la diferite puteri, notezi $t = \log_a x$ și rezolvi o ecuație algebrică în $t$. De exemplu, $\log_2^2 x - 3\log_2 x + 2 = 0$ devine $t^2 - 3t + 2 = 0$, cu $t \in \{1, 2\}$, deci $x \in \{2, 4\}$.

Ordinea de lucru nu se negociază: condiții de existență, transformare, rezolvare, verificarea soluțiilor în domeniu.

Funcția $f(x) = \log_a x$ este strict crescătoare pentru $a > 1$ și strict descrescătoare pentru $0 < a < 1$. Asta dictează sensul inegalității când elimini logaritmul:

$a > 1: \quad \log_a f(x) < \log_a g(x) \iff 0 < f(x) < g(x)$

$0 < a < 1: \quad \log_a f(x) < \log_a g(x) \iff f(x) > g(x) > 0$

Baza subunitară întoarce sensul. Este cea mai productivă capcană din tot subcapitolul, așa că verifică baza înainte de orice altceva. Soluția finală este intersecția dintre soluția inecuației transformate și condițiile de existență, scrisă ca interval.

Rezolvă în $\mathbb{R}$ ecuația $\log_2(x-1) + \log_2(x+1) = 3$.

Pasul 1: condițiile de existență. Ambele argumente trebuie să fie strict pozitive: $x - 1 > 0$ și $x + 1 > 0$, deci $x > 1$. Domeniul este $D = (1, +\infty)$.

Pasul 2: comprimăm suma într-un singur logaritm. Folosim $\log_a x + \log_a y = \log_a(xy)$:

$\log_2\left[(x-1)(x+1)\right] = 3 \implies \log_2\left(x^2 - 1\right) = 3$

Pasul 3: trecem la forma exponențială.

$x^2 - 1 = 2^3 = 8 \implies x^2 = 9 \implies x = 3 \ \text{sau} \ x = -3$

Pasul 4: verificăm în domeniu. $x = 3 \in (1, +\infty)$ convine. $x = -3$ nu respectă $x > 1$, deci se elimină; pentru el, logaritmii din enunț nici nu există.

Răspuns: $x = 3$.

Observație de grilă: variantele de răspuns conțin aproape sigur și $\{-3, 3\}$. Exact pentru asta există pasul 1.