Derivate pentru admitere

Derivata funcției $f$ în punctul $x_0$ este limita

$f'(x_0) = \lim_{x \to x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}$

dacă această limită există și este finită. Geometric, $f'(x_0)$ este panta tangentei la grafic în punctul $(x_0, f(x_0))$, iar ecuația tangentei este

$y - f(x_0) = f'(x_0)\,(x - x_0)$

Formula tangentei este una dintre cele mai frecvente cerințe la admitere, în forma directă sau inversată, de exemplu „găsește punctul în care tangenta are panta dată”.

Orice funcție derivabilă într-un punct este continuă acolo, dar reciproca este falsă: $f(x) = |x|$ este continuă în $0$ și nu este derivabilă, pentru că derivatele laterale sunt $-1$ și $1$. La funcții definite pe ramuri, derivabilitatea în punctul de legătură se decide comparând derivatele laterale, nu doar verificând continuitatea.

Tabelul se știe fără ezitare, pentru că orice ezitare se plătește în timp:

$\displaystyle c' = 0, \quad (x^n)' = n\,x^{n-1}, \quad \left(\sqrt{x}\right)' = \frac{1}{2\sqrt{x}}, \quad \left(\frac{1}{x}\right)' = -\frac{1}{x^2}$

$\displaystyle (e^x)' = e^x, \quad (a^x)' = a^x \ln a, \quad (\ln x)' = \frac{1}{x}, \quad (\log_a x)' = \frac{1}{x \ln a}$

$\displaystyle (\sin x)' = \cos x, \quad (\cos x)' = -\sin x, \quad (\operatorname{tg} x)' = \frac{1}{\cos^2 x}, \quad (\operatorname{ctg} x)' = -\frac{1}{\sin^2 x}$

$\displaystyle (\arcsin x)' = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}, \quad (\arccos x)' = -\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}, \quad (\operatorname{arctg} x)' = \frac{1}{1 + x^2}, \quad (\operatorname{arcctg} x)' = -\frac{1}{1 + x^2}$

Formula puterii acoperă și exponenții negativi sau fracționari: $\left(x^{-2}\right)' = -2x^{-3}$ și $\left(x^{1/2}\right)' = \frac{1}{2}x^{-1/2}$, adică exact regulile pentru $\frac{1}{x^2}$ și $\sqrt{x}$.

Patru reguli combină tabelul în orice funcție din grile:

$(f + g)' = f' + g', \qquad (c\,f)' = c\,f'$

$\displaystyle (f\,g)' = f'\,g + f\,g', \qquad \left(\frac{f}{g}\right)' = \frac{f'\,g - f\,g'}{g^2}$

iar pentru compuneri, regula lanțului:

$\left(f(u(x))\right)' = f'(u(x)) \cdot u'(x)$

Regula lanțului este cea mai des ratată. Concret: $(\sin 3x)' = 3\cos 3x$, $\left(e^{x^2}\right)' = 2x\,e^{x^2}$, $\left(\ln(x^2+1)\right)' = \frac{2x}{x^2+1}$. De fiecare dată derivezi funcția exterioară în argumentul intact, apoi înmulțești cu derivata interiorului.

La cât, reține ordinea din numărător: întâi $f'\,g$, apoi minus $f\,g'$. Inversarea schimbă semnul rezultatului și este o sursă clasică de răspunsuri „aproape corecte” în grile.

Legătura dintre semnul derivatei și mersul funcției: dacă $f' > 0$ pe un interval, $f$ este strict crescătoare acolo; dacă $f' < 0$, strict descrescătoare. Procedura standard, valabilă la aproape orice studiu de funcție:

1. Calculezi $f'$ și rezolvi $f'(x) = 0$; soluțiile sunt punctele critice.
2. Faci tabelul de semn al lui $f'$ pe domeniul de definiție.
3. Citești monotonia și punctele de extrem: unde $f'$ trece de la plus la minus ai maxim local, de la minus la plus ai minim local.

Teorema lui Fermat spune că într-un punct de extrem local interior în care $f$ este derivabilă, derivata se anulează. Reciproca este falsă: pentru $f(x) = x^3$, derivata $f'(x) = 3x^2$ se anulează în $0$, dar $f$ este crescătoare pe tot $\mathbb{R}$ și nu are extrem acolo. Anularea derivatei este doar candidatură; tabelul de semn dă verdictul.

Două teoreme apar explicit în programele de admitere. Teorema lui Rolle: dacă $f$ este continuă pe $[a, b]$, derivabilă pe $(a, b)$ și $f(a) = f(b)$, atunci există $c \in (a, b)$ cu $f'(c) = 0$. Consecința utilă în grile: între două rădăcini ale lui $f$ există cel puțin o rădăcină a lui $f'$, ceea ce limitează numărul de rădăcini reale ale unei ecuații.

Teorema lui Lagrange: în aceleași condiții, fără cerința $f(a) = f(b)$, există $c \in (a, b)$ cu

$f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}$

Din Lagrange ies inegalitățile clasice de admitere: mărginești $f'$ pe interval și obții încadrări pentru $f(b) - f(a)$. Tot din ea rezultă și criteriul de monotonie folosit la secțiunea anterioară.

Fie $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $f(x) = x^3 - 3x + 1$.

a) Studiază monotonia lui $f$ și determină punctele de extrem.
b) Scrie ecuația tangentei la graficul lui $f$ în punctul de abscisă $x_0 = 0$.
c) Arată că ecuația $f(x) = 0$ are exact trei rădăcini reale.

a) Derivata este

$f'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x - 1)(x + 1)$

cu rădăcinile $x = -1$ și $x = 1$. Semnul unui trinom cu coeficient dominant pozitiv: plus în afara rădăcinilor, minus între ele. Deci $f' > 0$ pe $(-\infty, -1)$ și pe $(1, \infty)$, iar $f' < 0$ pe $(-1, 1)$.

Rezultă: $f$ crește pe $(-\infty, -1]$, descrește pe $[-1, 1]$, crește pe $[1, \infty)$. În $x = -1$ derivata trece de la plus la minus, deci maxim local, cu $f(-1) = -1 + 3 + 1 = 3$. În $x = 1$ trece de la minus la plus, deci minim local, cu $f(1) = 1 - 3 + 1 = -1$.

b) Ai nevoie de valoarea și de panta în $0$: $f(0) = 1$ și $f'(0) = -3$. Ecuația tangentei:

$y - 1 = -3(x - 0) \iff y = -3x + 1$

c) Folosești monotonia și valorile de la a). Pe $(-\infty, -1]$ funcția crește de la $\lim_{x \to -\infty} f(x) = -\infty$ până la $f(-1) = 3 > 0$, deci taie axa exact o dată. Pe $[-1, 1]$ descrește de la $3 > 0$ la $f(1) = -1 < 0$, deci încă o rădăcină. Pe $[1, \infty)$ crește de la $-1 < 0$ spre $\lim_{x \to \infty} f(x) = \infty$, deci a treia rădăcină.

Pe fiecare interval funcția e strict monotonă, deci nu poate tăia axa de două ori pe același interval. În total: exact trei rădăcini reale.