Matematică Poli 2025

Scoatem $2^x$ factor comun: $2^x(2+1)=12$, deci $2^x=4=2^2$. Rezultă $x=2$. Verificare: $8+4=12$.

Avem $C_n^2=\frac{n(n-1)}{2}$, deci $n(n-1)=12$, adică $n^2-n-12=0$. Soluțiile sunt $4$ și $-3$, iar dintre ele doar $n=4$ este număr natural. Verificare: $C_4^2=\frac{4\cdot3}{2}=6$.

Într-o progresie aritmetică, $a_5=a_3+2r$. Prin urmare $a_5=7+2\cdot3=13$.

Determinantul este $x\cdot2-6\cdot1=2x-6$. Din $2x-6=0$ rezultă $x=3$.

Avem $f'(x)=e^x+2x$, deci $f'(1)=e+2$.

Pentru $x\to2$ avem cazul $\frac00$. Factorizăm numărătorul: $x^2-3x+2=(x-1)(x-2)$. Pentru $x\ne2$, fracția este egală cu $x-1$, deci $l=2-1=1$.

Avem $\lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{x}=1$ și $\lim_{x\to\infty}(f(x)-x)=\lim_{x\to\infty}\frac{1}{x-1}=0$, deci asimptota oblică este $y=x$. Pe $[2,3]$, diferența $f(x)-x=\frac{1}{x-1}$ este pozitivă. Aria este $\displaystyle \int_2^3\frac{1}{x-1}\,dx=\ln2-\ln1=\ln2$.

Din relațiile lui Viète, $x_1+x_2+x_3=0$ și $x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3=m$, deci $x_1^2+x_2^2+x_3^2=-2m$. Fiecare rădăcină verifică $x_k^3=-mx_k-6$, deci $x_k^4=-mx_k^2-6x_k$. Însumând, $x_1^4+x_2^4+x_3^4=-m\cdot(-2m)-6\cdot0=2m^2$. Din $2m^2=98$ și $m<0$ rezultă $m=-7$, iar $X^3-7X+6=(X-1)(X-2)(X+3)$. Prin urmare $|x_1|+|x_2|+|x_3|=1+2+3=6$.

Notăm $y=\frac{2x-1}{3}$. Atunci $\displaystyle \frac{4x+1}{6}=y+\frac12$, iar identitatea lui Hermite dă $[y]+\left[y+\frac12\right]=[2y]$, deci ecuația devine $\displaystyle \left[\frac{4x-2}{3}\right]=\frac{5x-4}{3}$. Membrul drept trebuie să fie un întreg $k$, deci $x=\frac{3k+4}{5}$ și $\displaystyle \frac{4x-2}{3}=\frac{4k+2}{5}$. Condiția $k\le\frac{4k+2}{5}<k+1$ dă $-3<k\le2$, adică $k\in\{-2,-1,0,1,2\}$. Ecuația are $5$ soluții reale.

Explicităm membrul stâng $g(x)$ pe intervale: $g(x)=-x-4$ pe $(-\infty,-4]$, $x+4$ pe $[-4,-1]$, $2-x$ pe $[-1,1]$, $x$ pe $[1,3]$, $6-x$ pe $[3,6]$ și $x-6$ pe $[6,\infty)$. Pe fiecare interval $g$ este liniară, deci dreapta $y=mx$ o intersectează în cel mult un punct, cu excepția cazului în care cele două coincid. Singura bucată situată pe o dreaptă prin origine este $g(x)=x$ pe $[1,3]$, deci $m=1$. Atunci orice $x\in[1,3]$ este soluție.