Preadmitere Poli 2025: matematică

Radicalul cere $6x-8\ge0$, iar membrul drept trebuie să fie nenegativ, deci $x\ge\frac43$. Ridicând la pătrat, $6x-8=x^2$, adică $x^2-6x+8=0$, cu soluțiile $2$ și $4$. Ambele verifică: $\sqrt4=2$ și $\sqrt{16}=4$.

Scădem $2x+1$ din ambii membri și obținem $x>1$, deci $x\in(1,\infty)$.

Din $\log_ab=\frac43$ rezultă $b=a^{4/3}$, deci $\displaystyle \sqrt[3]{a}=\frac ba$ este rațional. Un număr natural cu radical de ordin trei rațional este cub perfect, așa că $a=t^3$ și $b=t^4$, cu $t\in\mathbb{N}^*$. Analog, $d=c^{5/6}$ dă $c=s^6$ și $d=s^5$. Condiția devine $s^6-t^3=37$, adică $(s^2-t)(s^4+s^2t+t^2)=37$. Cum $37$ este prim, $s^2=t+1$ și $3t^2+3t+1=37$, deci $t=3$ și $s=2$. Atunci $a=27$, $b=81$, $c=64$, $d=32$ și $b-d=49$.

Avem $\det(A)=m(m+2)+2=m^2+2m+2$. Din $m^2+2m+2=1$ obținem $(m+1)^2=0$, deci $m=-1$. Atunci $m^2+2=3$.

Cum $27=3^3$, ecuația devine $x^2-4x+6=3$, adică $x^2-4x+3=0$, cu soluțiile $1$ și $3$. Suma modulelor este $1+3=4$.

Avem $f(1)=\operatorname{arctg}1=\frac\pi4=g(1)$. Derivata lui $f-g$ este $\displaystyle \frac{1}{2\sqrt x(1+x)}-\frac{1}{4x}=-\frac{(\sqrt x-1)^2}{4x(1+x)}\le0$, deci $f-g$ este strict descrescătoare și $x=1$ este singurul punct comun. În acest punct $f'(1)=g'(1)=\frac14$, iar tangenta comună este $\displaystyle y-\frac\pi4=\frac14(x-1)$. Pentru $y=0$ obținem $x=1-\pi$, deci $\alpha=1-\pi$.

Scădem prima coloană din a treia, apoi prima linie din a treia, și obținem determinantul sistemului $\Delta=m\begin{vmatrix}\displaystyle 1&\displaystyle 1-m\\\displaystyle m+1&\displaystyle 0\end{vmatrix}=m(m-1)(m+1)$. Pentru $m\notin\{-1,0,1\}$ sistemul are soluție unică. Pentru $m=0$, prima și a treia ecuație coincid ($y+z=1$), deci sistemul este compatibil nedeterminat. Pentru $m=1$, cu $u=x+z$, ecuațiile devin $2u+y=3$, $3u+2y=2$, $3u+y=1$; prima și ultima dau $u=-2$, $y=7$, dar atunci $3u+2y=8\ne2$. Pentru $m=-1$, a doua ecuație dă $x+z=2$, iar scăzând prima ecuație din a treia obținem $x+z=-2$. Așadar $A=\{-1,1\}$.

Din relațiile lui Viète, $x_1+x_2=-3$ și $x_1x_2=1$, deci $x_2=\frac1{x_1}$ și $\displaystyle \frac{x_1}{x_2+1}=\frac{x_1^2}{x_1+1}$. Din ecuație, $(x_1+1)^2=x_1^2+2x_1+1=-x_1$, deci $\displaystyle \left(\frac{x_1}{x_2+1}\right)^2=\frac{x_1^4}{-x_1}=-x_1^3$. Analog, al doilea termen este $-x_2^3$. Expresia este $-(x_1^3+x_2^3)=-\left[(x_1+x_2)^3-3x_1x_2(x_1+x_2)\right]=-(-27+9)=18$.

Derivând relația, $2x+2xf(x)=2xf(x)+(x^2+1)f'(x)$, deci $f'(x)=\frac{2x}{x^2+1}$ și $f(x)=\ln(x^2+1)+C$. Pentru $x=0$ obținem $2=f(0)+\ln2$, deci $C=2-\ln2$. Prin părți, $\displaystyle \int_0^1\ln(x^2+1)\,dx=\ln2-\int_0^1\frac{2x^2}{x^2+1}\,dx=\ln2-2+\frac\pi2$. Rezultă $\displaystyle \int_0^1f(x)\,dx=\ln2-2+\frac\pi2+2-\ln2=\frac\pi2$.

Fie $r$ rația. Avem $S_n=na_1+\frac{n(n-1)}{2}r$. Din $S_5=40$ rezultă $a_1+2r=8$, iar din $S_{10}=155$ rezultă $2a_1+9r=31$, deci $r=3$ și $a_1=2$. Atunci $S_{15}=15\cdot2+\frac{15\cdot14}{2}\cdot3=30+315=345$.