Preadmitere Poli 2026: matematică

Rangul este trei exact când determinantul este nenul. Dezvoltând după prima linie, determinantul este $g(x)=(2-m)x^2-4x+3m+1$. Pentru $m=2$, $g(x)=7-4x>0$ când $x<0$. Pentru $m<2$, vârful parabolei este în $x=\frac{2}{2-m}>0$, deci pe $(-\infty,0)$ funcția $g$ scade de la $+\infty$ la $g(0)=3m+1$; ea nu se anulează pentru $x<0$ exact când $3m+1\ge0$. Pentru $m>2$, produsul rădăcinilor este $\frac{3m+1}{2-m}<0$, deci una dintre ele este negativă. Rezultă $m\in\left[-\frac13,2\right]$.

Adunăm ecuațiile: $3x=9$, deci $x=3$. Din prima ecuație, $y=x-6=-3$. Verificare: $2\cdot3+(-3)=3$.

Avem $\det A=1\cdot1-2\cdot2=-3$. Din $\det(A^2)=(\det A)^2$ rezultă $\det(A^2)=9$.

Cum $27=3^3$, ecuația devine $3^{x+1}=3^3$. Funcția exponențială este injectivă, deci $x+1=3$ și $x=2$.

Din relațiile lui Viète, $x_1+x_2=-\frac ba=5$. Verificare: soluțiile sunt $2$ și $3$.

Avem $x\sqrt[4]{x}=x^{5/4}$ și $\displaystyle \frac{1}{\sqrt x}=x^{-1/2}$. Termenul general este $\displaystyle T_{k+1}=C_{24}^k\,x^{\frac{5(24-k)}{4}}\,x^{-\frac k2}=C_{24}^k\,x^{\frac{120-7k}{4}}$. Din $\frac{120-7k}{4}=9$ obținem $k=12$, deci termenul căutat este $T_{13}$.

Cum $z\ne0$, fracția este nenulă, deci și inversa ei, $\displaystyle \frac{z^2+4}{z}=z+\frac4z$, este reală. Avem $\displaystyle \frac4z=\frac{4\bar z}{|z|^2}$, deci partea imaginară a lui $z+\frac4z$ este $\mathrm{Im}\,z\left(1-\frac{4}{|z|^2}\right)$. Cum $\mathrm{Im}\,z\ne0$, rezultă $|z|^2=4$, adică $|z|=2$.

Avem $f'(x)=2x+e^x$, deci $f'(1)=2+e$.

Fie $h(x)=x(1-x)$, cu $h''=-2$ și $h(0)=h(1)=0$. Funcția $g=f-h$ are $g''=f''+2\ge0$, deci este convexă pe $[0,1]$ și se anulează în capete. O funcție convexă stă sub coarda dintre capete, deci $g\le0$, adică $f\le h$. Astfel $\displaystyle \int_0^1f(x)\,dx\le\int_0^1(x-x^2)\,dx=\frac12-\frac13=\frac16$, iar valoarea se atinge pentru $f=h\in\mathcal{F}$.

Pentru $x\to1$, $\frac{1}{x^2-1}\to\pm\infty$, deci $f(x)\to\pm\frac\pi2$; la fel în $-1$. Limitele laterale sunt finite, deci $f$ nu are asimptotă verticală. Celelalte afirmații sunt adevărate: $f(-x)=f(x)$; $|f(x)|<\frac\pi2$; $\lim_{x\to\pm\infty}f(x)=0$; pe $(-1,1)$ avem $\frac{1}{x^2-1}\le-1$, cu egalitate în $0$, deci $x=0$ este punct de maxim local. În plus, $f'(x)=\frac{-2x}{x^4-2x^2+2}$ și $f''(x)=\frac{2(3x^4-2x^2-2)}{(x^4-2x^2+2)^2}$, care schimbă semnul în $\displaystyle x=\pm\sqrt{\frac{1+\sqrt7}{3}}$, deci $f$ are două puncte de inflexiune.