Simulare Poli 2025: matematică

Dezvoltând după prima linie, $\det A=(6-2024\cdot2025)-2025\cdot2024+2(2024\cdot2025-4)=6-8=-2$, deoarece termenii mari se reduc. Cum $\det(A^k)=(\det A)^k$ și $\det A\ne0$, raportul este $\frac{(\det A)^{2025}}{(\det A)^{2024}}=\det A=-2$.

Un termen al dezvoltării se obține alegând din cei 6 factori de $a$ ori pe $1$, de $b$ ori pe $x$ și de $c$ ori pe $x^3$, cu $a+b+c=6$; coeficientul lui este $\frac{6!}{a!\,b!\,c!}$. Pentru $x^6$ trebuie $b+3c=6$, deci $(a,b,c)\in\{(0,6,0),(2,3,1),(4,0,2)\}$. Coeficientul este $\displaystyle 1+\frac{6!}{2!\,3!\,1!}+\frac{6!}{4!\,2!}=1+60+15=76$.

Radicalul de ordin doi impune $-x-2\ge0$, adică $x\le-2$. Funcția $g(x)=\sqrt{-x-2}-\sqrt[3]{x+5}$ este strict descrescătoare pe $(-\infty,-2]$, ca sumă a două funcții strict descrescătoare. Cum $g(-6)=\sqrt4-\sqrt[3]{-1}=2+1=3$, inegalitatea $g(x)<g(-6)$ are loc exact pentru $x>-6$. Rezultă $x\in(-6,-2]$.

Împărțind la $e^x>0$, ecuația devine $m=x+e^{-x}$. Funcția $g(x)=x+e^{-x}$ are $g'(x)=1-e^{-x}$, deci scade pe $(-\infty,0]$, crește pe $[0,\infty)$ și are minimul $g(0)=1$. Cum $\lim_{x\to\pm\infty}g(x)=+\infty$, orice valoare $m>1$ este atinsă de două ori, $m=1$ o singură dată, iar $m<1$ niciodată. Rezultă $m\in(1,\infty)$.

Condiția este $|x|+|y|=k$ cu $k\in\{0,1,\ldots,99\}$. Pentru $k=0$ avem doar perechea $(0,0)$. Pentru $k\ge1$ există $4k$ perechi: fiecare dintre cele patru laturi ale pătratului $|x|+|y|=k$ are $k+1$ puncte cu coordonate întregi, iar fiecare colț aparține la două laturi, deci $4(k+1)-4=4k$. Prin urmare $|M|=1+4(1+2+\cdots+99)=1+2\cdot99\cdot100=19801$.

Avem $a_1+a_2+\cdots+a_n=nx$. A doua condiție dă $nx+1=(n+1)(x-2)$, adică $x-2n=3$. A treia dă $nx+99=(n+1)(x+5)$, adică $x+5n=94$. Scăzând, $7n=91$, deci $n=13$ și $x=29$. Verificare: $\frac{13\cdot29+99}{14}=34=29+5$.

O primitivă a integrandului este $\sqrt{t^2+9}$, deci integrala este $\sqrt{4x^4+9}-\sqrt{x^4+9}$. Amplificând cu conjugata, ea devine $\displaystyle \frac{3x^4}{\sqrt{4x^4+9}+\sqrt{x^4+9}}$. După împărțirea la $x^4$, limita este $\displaystyle \frac{3}{3+3}=\frac12$.

Din relațiile lui Viète, $x_1+x_2=-\frac ba=6$. Verificare: rădăcinile sunt $1$ și $5$.

Pentru $x=10$ și $y=\frac52$ relația dă $\displaystyle f(25)=\frac{f(10)}{5/2}=\frac{2\cdot45}{5}=18$. O astfel de funcție există: pentru $x=1$ obținem $f(y)=\frac{f(1)}{y}$, iar $f(x)=\frac{450}{x}$ verifică relația și condiția $f(10)=45$.

Funcția exponențială de bază $2>1$ este strict crescătoare, deci inecuația este echivalentă cu $x\le2-x$. Rezultă $2x\le2$, adică $x\in(-\infty,1]$.