Matematică Poli 2024

Cu schimbarea de variabilă $x=-t$, intervalul $[-2,2]$ rămâne același, iar $\displaystyle \frac{1}{3^{-t}+1}=\frac{3^t}{3^t+1}$. Așadar $\displaystyle I=\int_{-2}^{2}\frac{3^x}{(x^2+4)(3^x+1)}\,dx$. Adunând cele două scrieri ale lui $I$, obținem $\displaystyle 2I=\int_{-2}^{2}\frac{dx}{x^2+4}=\frac12\operatorname{arctg}\frac x2\Big|_{-2}^{2}=\frac12\left(\frac\pi4+\frac\pi4\right)=\frac\pi4$. Rezultă $I=\frac\pi8$.

Scriem $A=I_3+B$, cu $B=\begin{pmatrix}\displaystyle 0&\displaystyle 3&\displaystyle -3\\\displaystyle 3&\displaystyle 0&\displaystyle 0\\\displaystyle 3&\displaystyle 0&\displaystyle 0\end{pmatrix}$. Avem $B^2=\begin{pmatrix}\displaystyle 0&\displaystyle 0&\displaystyle 0\\\displaystyle 0&\displaystyle 9&\displaystyle -9\\\displaystyle 0&\displaystyle 9&\displaystyle -9\end{pmatrix}$ și $B^3=O_3$. Cum $I_3$ comută cu $B$, binomul lui Newton dă $A^{59}=I_3+59B+C_{59}^2B^2=I_3+59B+1711B^2$. Diagonala principală a lui $B$ este nulă, deci elementele diagonale ale lui $A^{59}$ sunt $1$, $1+1711\cdot9=15400$ și $1-1711\cdot9=-15398$. Suma modulelor este $1+15400+15398=30799$.

Cum $4=2^2$, ecuația devine $2^{3x-1}=2^2$. Funcția exponențială este injectivă, deci $3x-1=2$ și $x=1$.

Ambii membri sunt nenegativi, deci ridicăm la pătrat: $2x+3=9$, de unde $x=3$. Verificare: $\sqrt{9}=3$.

Ecuația este echivalentă cu $m=g(x)$, unde $g(x)=(1-2x-2x^2)e^{-2x}$. Avem $g'(x)=4(x^2-1)e^{-2x}$, deci $g$ crește pe $(-\infty,-1]$, scade pe $[-1,1]$ și crește pe $[1,\infty)$. Valorile importante sunt $\lim_{x\to-\infty}g(x)=-\infty$, $g(-1)=e^2$, $g(1)=-\frac{3}{e^2}$ și $\lim_{x\to\infty}g(x)=0$, cu $g(x)<0$ pe $[1,\infty)$. Dreapta $y=m$ taie graficul în câte un punct pe fiecare dintre cele trei intervale de monotonie exact când $-\frac{3}{e^2}<m<0$.

Trecem termenii în $x$ în membrul stâng: $2x-x\le7-1$, adică $x\le6$. Mulțimea soluțiilor este $(-\infty,6]$.

Din $x^x=e^{x\ln x}$ obținem $(x^x)'=x^x(\ln x+1)$. Prin urmare $f'(x)=x^x(\ln x+1)+a^x\ln a+ax^{a-1}$ și $f'(1)=1+a\ln a+a$. Condiția $f'(1)=1$ devine $a(\ln a+1)=0$. Cum $a>0$, rezultă $\ln a=-1$, adică $a=\frac1e$.

Notăm $Y=X+1$. Atunci $g=Y^2+Y+1$, care divide $Y^3-1$, deci $Y^3$ dă restul $1$ la împărțirea prin $g$. Cum $2024=3\cdot674+2$, puterea $Y^{2024}$ dă același rest ca $Y^2=g-Y-1$, adică $-Y-1=-X-2$. Restul împărțirii lui $f$ la $g$ este $-X-2+3X+5=2X+3$.

Termenul general este $a_n=a_1+(n-1)r$. Pentru $n=5$, $a_5=3+4\cdot2=11$.

Determinantul este $(x+7)x-3(x-1)=x^2+4x+3$, deci ecuația este $x^2+4x+3=0$. Din relațiile lui Viète, $x_1+x_2=-4$ și $x_1x_2=3$. Prin urmare $x_1^2+x_2^2=16-6=10$. Verificare: soluțiile sunt $-1$ și $-3$, iar $1+9=10$.