Simulare Poli 2024: matematică

Logaritmând, $\ln a=\sqrt{2022}\ln2024$, $\ln b=\sqrt{2023}\ln2023$ și $\ln c=\sqrt{2024}\ln2022$, adică valorile funcției $\varphi(t)=\sqrt t\ln(4046-t)$ în $t=2022$, $2023$ și $2024$. Avem $\displaystyle \varphi'(t)=\frac{\ln(4046-t)}{2\sqrt t}-\frac{\sqrt t}{4046-t}$. Pe $[2022,2024]$, $\ln(4046-t)\ge\ln2022>7$ și $\sqrt t<45$, deci primul termen este mai mare decât $\frac{7}{90}$, iar al doilea este mai mic decât $\displaystyle \frac{45}{2022}<\frac{1}{40}$. Așadar $\varphi$ este strict crescătoare, $\ln a<\ln b<\ln c$ și $a<b<c$.

Derivăm fiecare termen: $f'(x)=3x^2+4x$. Prin urmare $f'(1)=3+4=7$.

Cum $(2+\sqrt3)(2-\sqrt3)=1$, cele două baze sunt inverse una alteia. Notăm $t=\left(\sqrt[3]{2+\sqrt3}\right)^x>0$, iar ecuația devine $t+\frac1t=4$, adică $t^2-4t+1=0$, cu $t=2\pm\sqrt3$. Cum $2-\sqrt3=(2+\sqrt3)^{-1}$, din $(2+\sqrt3)^{x/3}=(2+\sqrt3)^{\pm1}$ rezultă $\frac x3=\pm1$, deci $x\in\{-3,3\}$.

Notăm $u=\sqrt{x^2+6x}\ge0$. Ecuația devine $u^2+u-20=0$, cu rădăcinile $4$ și $-5$, iar condiția $u\ge0$ o păstrează doar pe $u=4$. Atunci $x^2+6x=16$, adică $x^2+6x-16=0$, cu soluțiile $2$ și $-8$, ambele valabile. Suma lor este $-6$.

Cum $e^{|1-x|}>0$, ecuația este echivalentă cu $m=g(x)$, unde $g(x)=(x+1)e^{-|1-x|}$. Pentru $x\ge1$, $g(x)=(x+1)e^{1-x}$ și $g'(x)=-xe^{1-x}<0$, deci $g$ scade de la $g(1)=2$ spre $0$. Pentru $x<1$, $g(x)=(x+1)e^{x-1}$ și $g'(x)=(x+2)e^{x-1}$, deci $g$ scade pe $(-\infty,-2]$ de la valori negative apropiate de $0$ la $g(-2)=-\frac{1}{e^3}$, apoi crește pe $[-2,1)$ spre $2$. Dreapta $y=m$ taie graficul în exact două puncte pentru $m\in\left(-\frac{1}{e^3},0\right)\cup(0,2)$. Pentru $m=0$ singura soluție este $x=-1$, iar pentru $m=2$ singura soluție este $x=1$.

Sistemul are soluție unică exact când determinantul matricei sistemului este nenul. Dezvoltând după prima linie, $\Delta=\begin{vmatrix}\displaystyle 1&\displaystyle 1&\displaystyle m\\\displaystyle 1&\displaystyle -1&\displaystyle 1\\\displaystyle 1&\displaystyle m&\displaystyle 1\end{vmatrix}=1\cdot(-1-m)-1\cdot(1-1)+m(m+1)=m^2-1$. Determinantul se anulează pentru $m=\pm1$, deci $m\in\mathbb{R}\setminus\{-1,1\}$.

Din relațiile lui Viète, $x_1+x_2=-1$ și $x_1x_2=-6$. Atunci $x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=1+12=13$. Verificare: soluțiile sunt $2$ și $-3$, iar $4+9=13$.

Cu schimbarea de variabilă $x=3t$, $\displaystyle \int_0^3f(x)\,dx=3\int_0^1f(3t)\,dt=27\int_0^1f(t)\,dt=27$. Prin aditivitate, $\displaystyle \int_1^3f(x)\,dx=\int_0^3f(x)\,dx-\int_0^1f(x)\,dx=27-1=26$.

Notăm $q=ab+bc+ca$ și $p=abc$. A doua relație se scrie $\displaystyle \frac qp=\frac12$, deci $p=2q$. Din identitatea $a^3+b^3+c^3=(a+b+c)^3-3(a+b+c)(ab+bc+ca)+3abc$ obținem $a^3+b^3+c^3=8-6q+3p=8-6q+6q=8$.

Termenul din mijloc este media aritmetică a vecinilor săi, deci $2\cdot3x=x+(2x+9)$. Rezultă $6x=3x+9$, adică $x=3$. Verificare: numerele $3$, $9$, $15$ au rația $6$.