Preadmitere Poli 2024: matematică

Din progresia aritmetică, $a+b+c=3b=21$, deci $b=7$; scriem $a=7-r$ și $c=7+r$. Numerele $9-r$, $10$, $16+r$ sunt în progresie geometrică, deci $(9-r)(16+r)=100$, adică $r^2+7r-44=0$, cu soluțiile $r=4$ și $r=-11$. Pentru $r=-11$ am avea $c=-4<0$, deci $r=4$, iar $a=3$, $b=7$, $c=11$. Verificare: $5$, $10$, $20$ sunt în progresie geometrică. Rezultă $a^2+b^2+c^2=9+49+121=179$.

Avem $\displaystyle f'(x)=e^{\frac1x}\cdot\frac{x-1}{x}$ și $\displaystyle f''(x)=\frac{e^{\frac1x}}{x^3}$. Derivata a doua nu se anulează și își schimbă semnul doar în $x=0$, care nu aparține domeniului, deci $f$ nu are puncte de inflexiune. Celelalte afirmații sunt adevărate: pe $(-\infty,0)$, $f$ crește de la $-\infty$ la $0$, deci $f(x)=-1$ are o singură soluție; pe $(0,\infty)$, $f$ are minimul $f(1)=e<3$ și tinde la $+\infty$ în ambele capete, deci $f(x)=3$ are două soluții, iar $x=1$ este singurul punct de extrem. Din $\lim_{x\to\pm\infty}\frac{f(x)}{x}=1$ și $\lim_{x\to\pm\infty}\left(f(x)-x\right)=1$, dreapta $y=x+1$ este asimptotă oblică. Singura asimptotă verticală este $x=0$, pentru că $\lim_{x\to0^+}f(x)=+\infty$.

Proprietatea spune că între două elemente ale lui $S$ există un număr din $M$ care nu aparține lui $S$, adică $S$ nu este formată din numere consecutive. Numărăm submulțimile care nu au proprietatea: mulțimea vidă și mulțimile de forma $\{i,i+1,\ldots,j\}$ cu $1\le i\le j\le7$, în total $1+\frac{7\cdot8}{2}=29$. Mulțimea $M$ are $2^7=128$ de submulțimi, deci numărul căutat este $128-29=99$.

Avem $f'(x)=-\ln3\left(3^{-x}+2\cdot3^{-2x}\right)<0$, deci $f$ este derivabilă, cu derivata nenulă. Cu $u=3^{-x}>0$, ecuația $f(x)=\frac{13}{9}$ devine $u^2+u-\frac49=0$, deci $u=\frac13$ și $x=1$. Atunci $\displaystyle f'(1)=-\ln3\left(\frac13+\frac29\right)=-\frac{5\ln3}{9}$. Din formula derivatei funcției inverse, $\displaystyle \left(f^{-1}\right)'\left(\frac{13}{9}\right)=\frac{1}{f'(1)}=-\frac{9}{5\ln3}$.

O primitivă a integrandului este $x^4+2x^3$. Prin urmare $I=(1+2)-0=3$.

Calculăm $A^2=\begin{pmatrix}\displaystyle 2&\displaystyle 2\\\displaystyle -1&\displaystyle -1\end{pmatrix}=A$. Atunci $X(a)X(b)=I_2+(a+b)A+abA^2=I_2+(a+b+ab)A=X\big((1+a)(1+b)-1\big)$. Aplicând repetat această relație, produsul din enunț este $X(c-1)$, unde $c=\prod_{k=1}^{1024}\left(1+\frac1k\right)=\prod_{k=1}^{1024}\frac{k+1}{k}=1025$, deci produsul este $X(1024)$. Cum $A\ne O_2$, egalitatea $X\left(2^t\right)=X(1024)$ dă $2^t=1024$, adică $t=10$.

Determinantul este $x(x+2)-1\cdot1=x^2+2x-1$. Ecuația devine $x^2+2x-8=0$, cu soluțiile reale $2$ și $-4$. Suma lor este $-2$.

Cum $16=2^4$, avem $x^2-x+2=4$, adică $x^2-x-2=0$, cu soluțiile $-1$ și $2$. Suma pătratelor este $1+4=5$.

Cum $F'=f$, relația se scrie $F'(x)+2F(x)=3$. Înmulțind cu $e^{2x}$ obținem $\left(e^{2x}F(x)\right)'=3e^{2x}$, deci $e^{2x}F(x)=\frac32e^{2x}+C$ și $F(x)=\frac32+Ce^{-2x}$. Atunci $f(x)=F'(x)=-2Ce^{-2x}$, iar din $f(0)=-2$ rezultă $C=1$. Așadar $f(x)=-2e^{-2x}$ și $f(-1)=-2e^2$.

Din $(x+y)^2=x^2+y^2+2xy$ obținem $4=16+2xy$, deci $xy=-6$. Verificare: $x$ și $y$ sunt rădăcinile ecuației $t^2-2t-6=0$, cu discriminantul $28>0$, deci sunt reale.