Matematică FMI 2026

Calculăm $B^2=\begin{pmatrix}\displaystyle -3&\displaystyle 8\\\displaystyle -8&\displaystyle 5\end{pmatrix}$, deci $B-B^2=\begin{pmatrix}\displaystyle 4&\displaystyle -6\\\displaystyle 6&\displaystyle -2\end{pmatrix}=2A$. Pentru $x=0$, $f_{A,B}(0)=\det B=7\le49$, așadar inecuația are cel puțin o soluție.

Notăm $A=(a_{ij})$ și $B=(b_{ij})$. Dezvoltăm determinantul $(xa_{11}+b_{11})(xa_{22}+b_{22})-(xa_{12}+b_{12})(xa_{21}+b_{21})$. Coeficientul lui $x^2$ este $\det A$, termenul constant este $\det B$, iar $m=a_{11}b_{22}+a_{22}b_{11}-a_{12}b_{21}-a_{21}b_{12}$.

Dacă $\det A\ne0$, funcția este un polinom de gradul 2, mărginit inferior sau superior; nu poate avea imaginea $\mathbb R$. Deci surjectivitatea impune $\det A=0$. Reciproca „dacă A nu este inversabilă, atunci $f_{A,B}$ este surjectivă” este falsă: pentru $A=0$, $B=I_2$, funcția este constantă, egală cu 1.

Din stabilitate, $A^2=A+uI_2$ și $(I_2+A)A=A+vI_2$ pentru anumite numere reale u,v. Scăzând, rezultă $A=(v-u)I_2$. Reciproc, pentru orice $A=\lambda I_2$, mulțimea $M_A$ este mulțimea tuturor matricelor scalare, stabilă la produs. Aceasta conține matricea zero și $I_2$, deci zero nu poate avea inversă; nu este grup.

$f_1(x)=1-1/(x+1)$ are asimptota verticală $x=-1$ și orizontală $y=1$. $f_2(x)=x-1+1/(x+1)$ are asimptota verticală $x=-1$ și oblică $y=x-1$.

Din descompunerile $x/(x+1)=1-1/(x+1)$ și $x^2/(x+1)=x-1+1/(x+1)$ rezultă $F(1)=[x-\ln(x+1)]_0^1=1-\ln2$ și $F(2)=[x^2/2-x+\ln(x+1)]_0^1=\ln2-1/2$.

Pe $[0,1]$, avem $x^n/2\le x^n/(x+1)\le x^{n-1}/2$; ultima inegalitate este echivalentă cu $2x\le x+1$. Integrând obținem limitele pentru F(n). Pe $[k,k+1]$, $1/(k+1)\le1/x\le1/k$. Integrarea pe un interval de lungime 1 dă a doua pereche de inegalități.

Pentru $H_n=\sum_{k=1}^n1/k$, comparația cu integrala dă $H_n-1\le\ln n\le H_{n-1}\le H_n$. Astfel $H_n/\ln n\to1$. Însumând inegalitățile de la (c), obținem $(H_{n+1}-1)/2\le\sum_{k=1}^nF(k)\le H_n/2$. Împărțind prin $\ln n$ și folosind criteriul cleștelui, limita este $1/2$.

Toate cele trei laturi au lungimea 4, deci triunghiul este echilateral și unghiurile sunt $60^\circ$. Centrul cercului coincide cu centrul de greutate: $O(0,2\sqrt3/3)$. Raza este $OA=4\sqrt3/3$.

$\displaystyle P=A+\frac34(B-A)=(-3/2,\sqrt3/2)$, $Q=B+\frac34(C-B)=(1,0)$, $\displaystyle R=C+\frac34(A-C)=(1/2,3\sqrt3/2)$. Media coordonatelor celor trei puncte este $(0,2\sqrt3/3)$, aceeași ca pentru A, B și C.

Notăm $u=\overrightarrow{AB}$, $v=\overrightarrow{AC}$, cu originea în A. Atunci $P=2u/3$, $Q=u/3+2v/3$, $R=v/3$. Prin scădere, $\overrightarrow{PQ}=-u/3+2v/3$, $\overrightarrow{QR}=-u/3-v/3$, $\overrightarrow{RP}=2u/3-v/3$. Cum $u\cdot u=16$ și $u\cdot v=8$, rezultă $u\cdot\overrightarrow{PQ}=-16/3+16/3=0$.

În baza vectorilor $u=\overrightarrow{AB}$ și $v=\overrightarrow{AC}$, avem $P=xu$, $Q=(1-x)u+xv$, $R=(1-x)v$. Determinantul vectorilor PQ și PR, raportat la determinantul lui u,v, este $(1-2x)(1-x)+x^2=1-3x+3x^2$. Deci $S(PQR)/S(ABC)=3(x-1/2)^2+1/4\ge1/4$. Minimul este atins pentru $x=1/2$.