5 grile de la admiterea Poli 2026

Avem $f(0)=0$ și $\displaystyle f(\ln2)=\frac{2-1}{2+1}=\frac13$. În a doua integrală facem schimbarea de variabilă $x=f(t)$, cu $t$ de la $0$ la $\ln2$, apoi integrăm prin părți:

$$\int_0^{1/3}f^{-1}(x)\,dx=\int_0^{\ln2}t\,f'(t)\,dt=t\,f(t)\Big|_0^{\ln2}-\int_0^{\ln2}f(t)\,dt=\frac{\ln2}{3}-\int_0^{\ln2}f(t)\,dt.$$

Ultimul termen este exact prima integrală din $I$, cu semn schimbat, deci cele două se reduc. Prin urmare, $I=\frac13\ln2$.